专题05等式与不等式的性质（8个知识点15种题型1个易错点1种高考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

专题05等式与不等式的性质（8个知识点15种题型1个易错点1种高考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.等式的性质 知识点2.恒等式 知识点3.方程的解集 知识点4.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 知识点5.一元二次方程根与系数的关系 知识点6.作差比较法 知识点7.不等式性质 知识点8.不等式性质（定理） 【方法二】 实例探索法 题型1.等式性质 题型2.一元一次（含参）方程的解集 题型3.含参二元一次方程组的解集 题型4.因式分解法解方程 题型5.含参一元二次方程根个数的判断及应用 题型6.根与系数关系的简单应用 题型7.应用根与系数的关系求参数值或范围 题型8.等式恒成立充要条件的证明 题型9.数（式）大小的比较 题型10.不等式的性质及不等式的证明 题型11.利用不等式性质求代数式的取值范围 题型12.利用性质判断命题的真假 题型13.利用基本不等式（定理）比较大小 题型14.利用基本不等式（定理）进行不等式的简单证明 题型15.利用基本不等式（定理）求代数式的最值 【方法三】差异对比法 易错点.误用不等式的性质而致错 【方法四】 仿真实战法 考法.等式与不等式性质 【方法五】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，，那么；、 （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果，那么； （5）如果，那么； （6）如果，，那么； 【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“”； 知识点2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 【注意】在解方程与解不等式时，如何保证“恒等变形”； 知识点3.方程的解集 （1）含有未知数的等式称为方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）以方程的所有解为元素组成的集合，称为方程的解集； 【注意】一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值；一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。 知识点4.通过判别式∆判定一元二次方程）解的情况； 一般地，称为一元二次方程的判别式； （1）当Δ>0时，方程的解集为； （2）当Δ＝0时，方程的解集为； （3）当Δ<0时，方程的解集为； 知识点5.一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根， 则原方程可改写为，展开得：， 与原方程比较可知对应系数应该相等，即，所以； 【注意】应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形： ①；②； ③； 知识点6.作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 【注意】符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推； 知识点7.不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么a； （5）性质 设、、均为实数，如果，则a>c－b； (不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么； (同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边； （2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向； （3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向； 知识点8.不等式性质（定理） 1、有关不等式的“定理” 对任意的实数a和b，总有a2＋b2≥2ab，且等号当且仅当a＝b时成立； 2、有关不等式的“定理”的拓展 （1）算术平均值与几何平均值：给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值； （2）均值不等式：如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立； 【注意】1、两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的；前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；2