2.2.3 一元二次不等式的解法【6大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

2.2.3 一元二次不等式的解集 一、一元二次不等式的概念 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 2、一般形式：，，（其中a≠0，a，b，c均为常数） 3、一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 二、三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 三、不含参数的一元二次不等式的解法 1、用因式分解法解一元二次不等式 （1）如果，则不等式的解集是， 不等式的解集是 （2）方法步骤 第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集. 2、用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式通过配方总是可以变为或的形式， 然后根据的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 四、含参数的一元二次不等式的方法与步骤 1、含参一元二次不等式的解题步骤 （1）讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论时等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数：判断方程根的个数，讨论判别式与0的关系； （3）写出解集：①确定方程无根时可直接写出解集； ②确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式。 2、参含一元二次不等式的讨论依据 （1）不等式类型的讨论：二次项系数，，； （2）方程根的讨论：两个不同的实根，两个相等的实根，无实根； （3）方程根的大小的讨论：，， 五、不等式恒成立（或有解）问题 1、不等式恒成立问题：不等式恒成立时对未知量来说，因此也称不等式解集为R （1）恒成立 （2）恒成立 （3）恒成立 （4）恒成立 2、不等式有解问题 （1）有解或 （2）有解或 （3）有解或 （4）有解或 题型一 解不含参一元二次不等式 【例1】（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列不等式的解集是空集的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）； （4）； 题型二 解含参一元二次不等式 【例2】（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）解关于的不等式． 【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：（）； 【变式2-3】（2023秋·广西钦州·高一校考开学考试）解关于的不等式. 题型三 根据不等式的解集求参数 【例3】（2022秋·上海徐汇·高一校考期中）已知关于的不等式的解集为，则 . 【变式3-1】（2023秋·山东临沂·高一校考开学考试）若不等式的解集是，则 ， ． 【变式3-2】（2023秋·湖南株洲·高一校考阶段练习）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）（多选）不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 题型四 一元二次不等式整数解问题 【例4】（2023秋·福建福州·高一校考开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且