2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

2.1.2一元二次方程的解集 及其根与系数的关系 《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何. B F C D E 如图，代表北门，处是木，代表南门，而且，，，如果设正方形的边长为步，根据,你能整理出关于的方程吗？ 这个方程能用因式分解的方法解吗？ 那应该怎么解呢？ 这节课我们就一起来学习一下吧. 1.理解判别式的作用，掌握一元二次方程的解法.（重点） 2.掌握一元二次方程根与系数的关系.（难点） 探究点1 一元二次方程的解集 形如的方程为一元二次方程，其中是常数，且. 思考1：下列方程的解集是什么？ （1）；（2）；（3）. （1） （2） （3） 你能归纳出方程的解集吗？ 一般地，方程 （1）当时,解集为 ； （2）当 （3）当 直接开平方 思考2：下列方程的解集是什么？ （1）；（2）；（3）. （1） （2） （3） 你能归纳出方程的解集吗？ 一般地，方程 （1）当时,解集为 ； （2）当 （3）当 思考3：怎样将化为的形式？解集是什么？ 因此，可转化为，解集为. 加上 一次项系数一半的平方 配方法 练一练：用配方法求下列方程的解集. （1）;（2）. 【解析】（1）方程可化为,则, 所以,解集为. （2）方程可化为，解集为. 思考4：是否任何一个一元二次方程都能化为的形式呢？动手试一下吧. 因此，可以化为 因此，（1）当时，方程的解集为; （2）当时，方程的解集为; （3）当时，方程的解集为 判别式 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 求根公式： 【总结】一元二次方程的解法： 方法 方程类型 注意事项 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 时有解， 时无解 先移项再配方 时有解， 时无解 提公因式、 十字相乘法 例1.求下列方程的解集： （1）； （2）； （3）. 【解析】（1）设,则原方程可变为 解得或（舍） =, （2）设,则.原方程可变为 解得或（舍） 即， （3）设=y,则原方程可变为 解得或 从而,解集为 即= 从而,解集为 从而或,解集为 看成一个整体 看成一个整体 看成一个整体 整体思想 【跟踪训练】求下列方程的解集： （1）； （2） 【解析】（1）设,则.原方程可变为 解得或. （2）设,则原方程可变为 解得 或 . 从而或,解集为 即或. 即或. 从而或,解集为 探究点2 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的解集不是空集时，这个方程的解为,. 思考：与的值为多少？ 一元二次方程根与系数的关系： ； 韦达定理 练一练： （1）若，是方程的两根，则 ； . （2）若2和3是方程的两根，则 , . （3）若方程有一个根为3，则另一个根为 . 2 6 例2.已知一元二次方程的两根为与,求下列各式的值： （1）；（2）. 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得 ， （1）. （2） 【跟踪训练】已知方程的的两根为,求下列各式的值： （1）； （2）. 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得 ， （1） ; (2)