2.2.1 不等式及其性质【6大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

2.2.1 不等式及其性质 一、不等式的概念 1、不等式的定义：我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们直接的不等式关系。含有这些不等号的式子，称为不等号四。 2、同向不等式和异向不等式 （1）同向不等式：在两个不等式中，如果每一个不等式的左边都大于右边，或每一个不等式的左边都小于右边，这样的两个不等式叫做同向不等式； （2）异向不等式：如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫做异向不等式。 二、实数a、b的大小比较 1、文字描述：如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么，反过来也对。 2．符号表示：；； 三、不等式的性质 1、不等式的性质 性质1：如果，那么（可加性） 性质2：如果，，那么（可乘性） 性质3：如果，，那么（可乘性） 性质4：如果，，那么（传递性） 性质5：，（对称性） 2、不等式性质的推论 推论1：如果，则（不等式的移项法则） 推论2：如果，，那么（同向可加性） 推论3：如果，，那么（同向同正可乘性） 推论4：如果，那么（可乘方性） 推论5：如果，那么（可开方性） 3、注意事项 （1）推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号，从不等式的一边移到另一边； （2）推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向； （3）推论3表明，个两边都是正数的同向不等式分别相乘，得到的不等式与原不等式同向。 四、倒数法则 1、如果，那么 2、如果，那么 综上，如果，且，那么 五、不等式的证明方法 1、作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小； 2、综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法 3、反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立； 4、分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立。 题型一 不等式性质的应用 【例1】（2022秋·江西南昌·高一校考阶段练习）若，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·北京·高三校考开学考试）若为实数，且，则以下结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·河南·省实验中学校考模拟预测）（多选）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·浙江台州·高一校考开学考试）（多选）已知，，，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-4】（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）（多选）下列说法正确的的是（ ） A．若．则 B．若，则 C．若，．则 D．若，，则 题型二 作差法比较大小 【例2】（2023·江苏·高一假期作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）已知，，则与的大小关系为 ． 【变式2-2】（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设、为正实数，试比较与的值的大小，并说明理由． 【变式2-3】（2023·全国·高一假期作业）比较大小： （1）和； （2）和，其中． 题型三 作商法比较大小 【例3】（2021·全国·高一专题练习），则的大小关系为 ． 【变式3-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小. 【变式3-2】2023·全国·高一假期作业）已知，试比较与的大小. 【变式3-3】（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）设，比较与的大小； 题型四 利用不等式求取值范围 【例4】（2023春·黑龙江大庆·高一校考开学考试）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023春·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知，分别求： （1）的取值范围； （2）的取值范围； （3）的取值范围. 【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023秋·高一课时练习）设为实数，满足，求的最大值． 题型五 实际中的不等关系表示 【例5】（2023·全国·高一专题练习）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品