专题15 探索与表达规律-2023-2024学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题15探索与表达规律 【知识总结】 知识点01 规律探究常见的数字规律 规律总结 数列形式 1，3，5，7，9，···， 2，4，6，8，10，···， 4，7，10，13，16，···， 2，5，8，11，14，···， 2，4，8，16，32，···， 3，5，9，17，33，···， 2，5，10，17，26，···， 0，3，8，15，24，···， ，，，，，，···， ，，，，，，···， 1，3，6，10，15，21，···， 斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数之和 知识点02 规律探究方法总结 1.规律探究的核心是找出每个数与对应的位次（即n）之间的关系； 2.若数列为分数数列，则分子分母分开找规律； 3.若数列是正负交替排列，则在答案前加上；若数列是负正交替排列，则在答案前加上； 4.若是选择题，则可以用代值法，再利用排除法选出正确答案即可. 知识点03 高斯求和定理 . 【题型突破】 题型一 数字类规律探索之排列问题 1.观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察不难发现，各数据都等于完全平方数减，然后列式计算即可得解． 【详解】∵， ， ， ， ， …， ∴第个数据是：， 故选：． 【点睛】此题考查了数字变化规律，观察出各数据都等于完全平方数减是解题的关键． 题型二 数字类规律探索之末尾数字问题 2.观察下列算式：，，，，，，，…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．9 D．7 【答案】D 【分析】先由前面8个具体的计算归纳得到个位数每四次循环，再利用规律解题即可． 【详解】解：，，，，，，，…， 归纳可得：个位数每四次循环， ∵， ∴与的个位数相同，是7； 故选D 【点睛】本题考查的是数字变化规律的探究，乘方的含义，掌握探究的方法并灵活应用规律解决问题是解题关键． 题型三 数字类规律探索之新运算问题 3.定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为；（2）当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，……；若，则第2020次运算结果是（  ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由题意所给的定义新运算可得当时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是8，第四次经F运算是1，，由此规律可进行求解． 【详解】解：由题意时，第一次经F运算是，第二次经F运算是，第三次经F运算是，第四次经F运算是，； 从第二次开始出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， ∴第2020次运算结果1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，关键是从题中所给新运算得出数字的一般规律，然后可进行求解． 题型四 数字类规律探索之等式问题 4.观察下面的变形规律： ；；； 解答下面的问题： (1)若为正整数，请你猜想 ______ ； (2)计算． (3)计算；． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析所给的等式的形式，猜想规律即可解答； （2）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答； （3）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答． 【详解】（1）解：∵；；； 猜想． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，熟练掌握与运用对相应的运算法则是解答的关键． 5.观察算式：①；②；③；④；， 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：______； (2)写出第个算式：______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用所给的等式的形式，把所求的式子进行整理，从而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：第个算式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：第个算式为：， 故答案为：； （3）解：． ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是发现算式中的规律并灵活运用． 题型五 图形类规律探索之数字问题 6.根据图中数字的规律，若第n个图中的值为196，则（    ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】通过观察可知，若第n个图中A位置上的数是，B位置上的数是，C位置上的数是，D位置上的数是