期末重难点真题特训之易错必刷题型（117题34个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （北师大版2024)

期末重难点真题特训之易错必刷题型（117题34个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、常见几何体 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示的五棱柱的底面边长都是，侧棱长，侧面的面积之和是 ． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 易错必刷题二、由展开图计算几何体的表面积、体积 1．（23-24七年级上·吉林·期末）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南昭通·二模）如图，这是一个圆柱形笔筒，量的笔筒的高是，底面圆的直径是，则这个笔筒的侧面积为 （结果保留）． 3．（24-25七年级上·全国·期中）综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 易错必刷题三、正数和负数 1．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示．那么，“”表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）如果小明向东走28米记作米，那么小明向西走50米记 作 米． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 易错必刷题四、有理数的概念 1．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）下列说法中： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③非负数就是正数； ④是无限不循环小数 ，所以不是有理数； ⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（      ） A．5 个 B．4个 C．3 个 D．2个 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在数，，，中，有理数的个数有 个． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）将下列有理数分类． ，，0，20，，，，，， (1)负数集合：{        ……}； (2)正数集合：{        ……}； (3)分数集合：{        ……}； (4)负整数集合：{        ……}； (5)负有理数集合：{        ……}． 易错必刷题五、数轴 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图所示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·期中）已知在同一数轴上，点到点的距离为4个单位，点到点的距离为3个单位，点到点的距离为 个单位． 3．（24-25七年级上·山西·期中）在数轴上，点A、B、C、D的位置如图所示，请观察数轴，并解答下列问题： (1)表示有理数3的点是 ，在A、B、C、D这4个点中，距离原点最远的点表示的有理数是 ，在点B 的右侧与点B的距离为3个单位长度的点表示的有理数是 ． (2)在数轴上标出表示有理数的点M； (3)将，， 3这三个数用“”连接的结果是： ． 易错必刷题六、数轴上的动点问题 1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（    ）重合 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 3．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点． (1)若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是________； (2)若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是________； (3)若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是________． 易错必刷题七、相反数 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）的相反数是______，的相反数是_______； （2）的相反数是______，的相反数是_____； （3）的相反数是_______． A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，并且的立方等于它本身． (1)试求值； (2)若，且，，试求的值． (3)若，则的最小值为 ． 易错必刷题八、化简绝对值 1．（23-24七年级上·贵州黔南·期中）在数，0，1，，中，绝对值等于它本身的是（    ） A．0，1， B．1， C．0，1， D．0，，1 2．（23-24七年级上·江苏南通·期末）已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如： 等，下列说法： ①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与多项式相等； ②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种． 其中正确说法有 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴是数形结合思想的重要载体，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离． (1)对于有理数，如果，那么可能对应下面数轴上的点________或点________．（填字母） (2)，表示有理数与0在数轴上对应的点之间的距离．事实上，数轴上任意两个数对应的点之间的距离都能用两数之差的绝对值来表示． 例如：与6在数轴上对应的点之间的距离可以记作或，结果是13． 那么，对于有理数： ①可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ②可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ③若，请画出数轴并用数形结合思想求的值． 易错必刷题九、绝对值非负性较 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知m表示有理数，则一定是（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．零 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________； (2)当________时，有最小值，最小值是______． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若，求、的值． 易错必刷题十、有理数的大小比 1．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）下面四个数中，最小的数为（    ） A． B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）在中，最大的数是 ，最小的数是 ． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 易错必刷题十一、有理数的四则运算 1．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）选一选：下列算式中，先算除法，再算加法，最后算乘法的是（　　）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）直接写得数 ①______．②______．③______④______． ⑤______．⑥______．⑦______． ⑧______．⑨______．⑩______． 3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）电动车厂某周5天（周六、周日休息）计划生产辆电动车，平均每天生产电动车辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划每天的生产量相比有出入，下表是该周的实际生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 减增 (1)该厂星期一生产电动车______辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车______辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆电动车可得元，那么该厂工人这周的工资总额是多少元？ 易错必刷题十二、有理数混合运算的实际应用 1．（2024·辽宁大连·三模）某销售教辅材料的商家记录了6天以来每天的盈亏情况，并用“”表示盈利，“”表示亏损，他记录的表格如下： 天数/天 盈亏情况/元 1 2 3 4 5 6 下列关于盈亏说法正确的是（    ） A．6天以来亏损了4元 B．6天以来亏损了2元 C．6天以来盈利了12元 D．6天以来盈利了6元 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）某小学举行数学、语文、科学三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，语文179人， 科学165人，参加两科的：数学、语文143人， 数学、科学116人，语文、科学97人．三科都参加的：89人，这个小学参加竞赛的总人数为 人． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）2023年7月26日，成都大运会火炬传递到了东安湖体育公园，下图为东安湖站的火炬传递线路图．按照图中路线规划可知，从105棒到120棒的16名火炬手平均每人传递里程为48米，以48米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了这16名火炬手中部分人的里程波动值． 棒次 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 里程波动值 2 6 3 0 5 5 4 1 (1)第113棒火炬手的实际里程为______米； (2)若第108棒火炬手的实际里程为49米． ①请写出第108棒火炬手的里程波动值； ②求第118棒火炬手的实际里程． 易错必刷题十三、列代数式 1．（23-24七年级上·天津河西·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边、、用篱笆围成，且这三边的和为40米．若设的长米，则的长度可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）小悦跟同学在某餐厅吃饭，这家餐厅提供种点餐方案： A餐：一份拉面 B餐：一份拉面、一杯饮料 C餐：一份拉面、一杯饮料、一份沙拉 已知他们所点的餐点总共有份拉面，杯饮料，份沙拉． 则他们点A餐的数量为 （用含的式子表示）． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）如图，一个跑道由两条半圆形的跑道和两条直道组成．已知每条直道的长都是米，半圆形跑道的直径是米． (1)用含，的代数式表示该跑道的周长； (2)用含，的代数式表示该跑道所围成的图形的面积； (3)当，时，求该跑道的周长（取3）． 易错必刷题十四、用代数式表示数、图形的规律 1．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，是直线的垂线段，每次在两侧依次增加1条线段，则第20个图形中共有三角形的数量是（　　） A．820 B．840 C．40 D．20 2．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第10个式子是 ． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）文化情境·传统文化 小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去． (1)摆第个图案需用______颗棋子； (2)按照此规律摆下去，摆第个图案需要______颗棋子（用含的代数式表示）； (3)当需要摆第个图案时，现在共有个棋子，是否够用？请说明理由． 易错必刷题十五、求代数式的值 1．（23-24七年级上·宁夏银川·期中）若，，且，则等于（    ） A．5 B． C． D． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    3．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）【例题呈现】 已知代数式：的值为9，则代数式的值为_______． 【解法呈现】 由题意得，则有， ，所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则代数式______． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 易错必刷题十六、单项式 1．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列式子、、、、、、中，单项式的个数是（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）单项式的系数是 ． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）观察下列单项式：，，，…，，，…从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是______ 系数的绝对值规律是______； (2)次数的规律是______； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是______． (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是______． 易错必刷题十七、多项式 1．（23-24七年级上·吉林·开学考试）下列说法正确的是 （     ） A．的系数是 B．是六次单项式 C．的常数项是6 D．是三次三项式 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）若是关于x的五次四项式，则 ． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）用16块面积都是S的正方形地砖铺一块正方形的地面，中间4块地砖是蓝色地砖，其他的12 块地砖都是白色地砖，如图所示．如何用一次式表示白色地砖总面积？ 易错必刷题十八、合并同类项 1．（23-24七年级上·河南信阳·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）去括号，合并同类项得： ． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）把下列多项式合并同类项： (1) (2) 易错必刷题十九、去括号、添括号 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）在括号内填上适当的项： （1）( )； （2）( ) ． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题二十、整式的加减中的化简求值 1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，，则（    ） A．0 B． C．2 D． 2．（23-24七年级上·广西桂林·期中）已知，，则多项式的值为 ． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）已知， (1)当时，试求出A的值； (2)当，时，请求出的值． 易错必刷题二十一、整式加减的应用 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长为（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（发车间隔问题）甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车．小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上，每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇．那么相邻两辆电车的发车时间相差 分钟． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）某小型工厂生产碗团和大黄米，每日两种产品合计生产1200袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天生产碗团x袋． 产品 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 碗团 35 40 大黄米 11 13 (1)用含x的整式表示每天的生产成本和每天获得的利润，并化简（利润售价成本）． (2)当时，求每天的生产成本与每天获得的利润． 易错必刷题二十二、直线、射线、线段 1．（2024·河北保定·二模）如图中四条线段a，b，c，d和线段e在同一条直线上的是（    ） A．a B．b C．c D．d 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，图中有 条射线，分别是 ．    3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）按要求完成作图及作答： (1)如图1，平面上有四个点，，，，作射线； (2)如图1，取一点，使点既在直线上又在直线上； (3)如图1，若点到，，，四点距离之和最短．画出点的位置； (4)如图2，平面内三条直线交于、、三点，点、是平面内另外两点，若分别过点、各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增__________个交点． 易错必刷题二十三、线段中点的有关计算 1．（23-24七年级上·四川乐山·开学考试）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．若，则（ ） A．4.5或5.5 B．5.5或6.5 C．5.5或7.5 D．4.5或7.5 2．（23-24七年级上·安徽淮南·开学考试）如图．已知线段，点N在线段上 ，，M是中点，那么线段的长为 ．    3．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）补全解题过程．已知：如图，点是线段上一点，点是线段的中点，，．求线段的长度． 解：∵，（已知），∴_____________； ∵点是线段的中点（已知），∴____________（线段中点的定义） ∵，∴____________． 易错必刷题二十四、角的相关概念与计算 1．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）下列判断中正确的是（    ） A．角是由两条射线组成的图形 B．一条直线就是一个平角 C．如果线段，那么点叫做线段的中点 D．经过两点有且只有一条直线 2．（23-24七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）已知都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是，其中只有一人计算正确，他是 ． 3．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图，已知，平分，平分． (1)请你数一数，图中共有______个小于平角的角； (2)求的度数． 易错必刷题二十五、几何图形中的角度计算 1．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）把两个同样大小的三角尺像如图那样放在一起，两个直角顶点互相重合，即，如果，那么 ． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊角，在①，②，③，④，⑤，⑥，六个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是__________；（填序号） （2）在图①中，求的度数； （3）如图①，先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角的顶点与角的顶点互相重合，且边、都在直线上（图①），固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度（如图②），当平分时，求旋转角的度数． 易错必刷题二十六、角平分线有关的计算 1．（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，是的平分线，是的平分线，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东湛江·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论: ①当时，； ②为的平分线； ③若，则； ④． 其中正确的结论有 ． 3．（23-24七年级上·天津·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 易错必刷题二十七、多边形的概念与分类 1．（23-24七年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．若，则点是线段的中点 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．钟表显示9点，此时时针与分针的夹角是 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    3．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）如图，求多边形的面积． 易错必刷题二十八、圆的周长和面积问题 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填． 如图所示，将圆形平分16等份，并拼成一个近似的三角形，用表示圆周率，用r表示圆的半径，那么：三角形的底是圆的周长的( )，表示为( )，三角形的高是圆的半径的( )倍，表示为( )，圆形和三角形的( )相等．请你根据三角形的面积公式推理出圆的面积公式，并写出推导过程． 3．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）求出下图阴影部分的周长和面积．单位：厘米（圆周率用π表示） 易错必刷题二十九、等式的性质 1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24七年级上·广东珠海·期末）已知，用含x的式子表示 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）利用等式的性质解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 易错必刷题三十、一元一次方程的解法 1．（23-24七年级上·河北沧州·单元测试）下列方程变形正确的是（    ） A．方程化成 B．方程，去括号，得 C．方程移项得 D．方程，未知数系数化为，得 2．（23-24七年级上·山东聊城·期末）当代数式取最大值时，方程的解是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)______； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较的大小． 易错必刷题三十一、一元一次方程实际应用（销售、数字、古代）问题 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/本） 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ 3．（24-25七年级上·重庆·期中）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”（如图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图2是一个“和幻方”，则_____； (2)如图3是一个“积幻方”，求的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图4所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，求的值． 易错必刷题三十二、一元一次方程实际应用（行程、工程、几何）问题 1．（24-25七年级上·全国·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需天，乙单独完成需天，现在先由甲单独做8天剩下的部分由甲、乙合做完成．甲、乙两人合做了多少天？ 分析：这个问题中的等量关系：全部工作量=甲单独做的工作量+______． 设：甲、乙两人合做了x天，可以根据表格分析数量关系：(请补全表格) 工作方式 工作效率 工作时间(天) 工作量 甲单独做 8 甲、乙合做 ①______ ②______ 合计 1 根据题意列方程为：______；解得______；答：略． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，将一张正方形纸片第一次剪成4张大小相同的小正方形纸片，第二次将其中的一张小正方形纸片按同样的方法剪成4张更小的正方形纸片，如此继续剪下去．    (1)填写表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 … 正方形纸片的张数 ______ ______ ______ ______ ______ … (2)剪n次一共可以剪出多少张小正方形纸片（用含n的代数式表示）？ (3)能否经过若干次分割后，共得2024张纸片？请说明理由． 剪的次数 1 2 3 4 5 … 正方形纸片的张数 4 7 10 13 16 … 易错必刷题三十三、数据的收集 1．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列调查中，适合采用全面调查的是（    ） A．订购七年级校服时了解学生衣服的尺寸 B．中央电视台某节目的收视率 C．了解我市初中学生每周参加体育运动的时间 D．了解某灯泡厂生产的灯泡的使用寿命 2．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）李老汉要估计自己鱼塘里有多少条鱼，第一次捞出条，把它们做上标记后放回鱼塘．当它们混合鱼群后，又捞出条，其中带有标记的有条．问李老汉的鱼塘中估计有 条鱼． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）5月25日是全国心理健康日，某校想了解八年级学生对心理健康知识的掌握情况，随机抽取了20名学生的测试成绩（满分10分）． 【数据收集】随机抽取的20位学生成绩： 【数据整理】将收集的数据进行整理统计并绘制了如图所示不完整的统计图： 【任务要求】请根据以上信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)所抽取学生成绩的众数是_________分，中位数是_________分，平均数是_________分； (3)若该年级共有1000名学生，请你估计这1000名学生成绩大于等于7.5分的学生有多少人． 易错必刷题三十四、数据的表示 1．（23-24七年级上·甘肃定西·开学考试）为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1min仰卧起坐次数，并绘制如图所示的频数直方图，请根据图中的信息，计算仰卧起坐次数在次的百分比是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·云南·学业考试）如图是某校随机调查部分学生对篮球、乒乓球、足球羽毛球四类运动项目喜爱情况的统计图．已知此次参加调查的学生中喜爱乒乓球的学生有200人，则该校参加此次调查的学生共有 人． 3．（2024·湖南·模拟预测）年5月日点分，袁隆平在湖南长沙逝世；年月3日，袁隆平科研团队培育的超级稻在徐州试种取得成功；超级稻“利两优”完亩产达到公斤．如图，为该科研团队为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图． (1)本次抽取的样本水稻秧苗为______株； (2)求出样本中苗高为的秧苗的株数，并完成折线统计图； (3)根据统计数据，若苗高大于或等于视为优良秧苗，请你估算该试验田株水稻秧苗中达到优良等级的株数． 1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）“贵州特色”营养餐惠及农村娃．贵州省农村学生营养改善计划启动实施近5年来，目前已实现全省87个县全覆盖，1.25万所学校近400万农村娃，4000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·云南·学业考试）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期末）下面给出的三个平面图形，是从前面、左面、上面看一个立体图形得到的，那么这个立体图形应是（　　）    A．   B．   C．   D．   4．（23-24七年级上·安徽·期末）如图，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，若，则（    ）． A． B． C． D．1 5．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）《九章算术》中记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问：人数几何？大意为：今有人合伙买金，一人出400，则多出3400；一人出300，则多出100，问：有多少人合伙买金？设有x人合伙买金，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）比较：，，的大小，用“”连接起来： ． 7．（23-24七年级上·全国·单元测试）一个四棱柱被一刀切去一部分，剩下的部分可能是 . 8．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）某件商品标价是300元，打八折销售每件可获利50元，这件商品的进价是每件 元． 9．（24-25七年级上·浙江·开学考试）4个边长为小正三角形摆成①，接着摆放前4个图形如图所示，按这样的方式，那么第⑥个图形的周长是 cm；第19个整个图形形状是 ；第n个图形一共有 个着色三角形． 10．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图是由四个正方体拼接而成的图形，一只蚂蚁沿着正方体的棱爬行，从A经过B最终到达C的最短路线有 种． 11．（2024七年级上·云南·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（2024七年级上·云南·专题练习）如图所示，长方形的长为，宽为，半圆的半径为．（结果保留） (1)用整式表示阴影部分的面积； (2)当，，时，求阴影部分的面积． 13．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）已知一个长方体的表面展开图如图所示，请回答下列问题： (1)将展开图折叠还原为长方体后，与线段重合的线段是____，与点重合的点是_____． (2)已知长方体的表面展开图中，四边形是正方形，且，求长方体的体积． 14．（24-25七年级上·广西·阶段练习）一张长方形的餐桌可以坐6个人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子： (1)观察表中数据规律填空：___，____，_____； 餐桌张数 1 2 3 4 5 … 可坐人数 6 8 … (2)一家酒楼，按上图的方式拼桌，要使拼成的一张大餐桌刚好能坐人，请问需几张餐桌拼成一张大餐桌？ (3)若酒店有人来就餐，还有更好的拼桌方式吗？最少要用多少张餐桌？如果有，画出此时拼桌方式的示意图：如果没有，请说明理由． 15．（24-25七年级上·全国·期末）与有共同的顶点，其中． (1)如图①，若，试判断与的大小关系，并说明理由，求的度数； (2)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若改变，的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之易错必刷题型（117题34个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、常见几何体 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱柱、球、圆柱、四棱柱的定义逐一判断即可．本题主要考查认识立体图形，熟练掌握三棱柱、球、圆柱、四棱柱的定义是解题的关键． 【详解】解：A．本图是圆柱，故本选项符合题意； B．本图是三棱柱，故本选项不符合题意； C．本图是球，故本选项不符合题意； D．本图是四棱柱，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示的五棱柱的底面边长都是，侧棱长，侧面的面积之和是 ． 【答案】300 【分析】本题考查的是几何体的表面积的计算，认识立体图形是解题的关键．结合图形、根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：这个五棱柱有5个侧面， 它的所有侧面的面积之和是：， 故答案为：300． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 【答案】(1)，，，，，； (2) 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有个面，条棱，个顶点，棱锥有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，，，，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图： 根据上表总结出这个关系为． 易错必刷题二、由展开图计算几何体的表面积、体积 1．（23-24七年级上·吉林·期末）如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆柱的有关计算，本题中半圆形截面的弧长就是塑料薄膜的一边，弄清了这点，计算薄膜的面积就容易多了．由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：，再加上前后两个半圆面积，进而得出塑料膜的面积． 【详解】解：塑料膜的面积． 故选：C． 2．（2024·云南昭通·二模）如图，这是一个圆柱形笔筒，量的笔筒的高是，底面圆的直径是，则这个笔筒的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积为，其中为底面圆直径，为圆柱的高是解题的关键． 根据笔筒的侧面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，笔筒的侧面积为 ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·期中）综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）由长方体的体积公式进行计算即可； （2）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （2）由题意可得表面积为： ． ∴该盒子需要涂色的面积为． 易错必刷题三、正数和负数 1．（23-24七年级上·云南昆明·开学考试）《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示．那么，“”表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的定义，解题关键是通过阅读材料理解和掌握我国古代用算筹记数的规定．根据题中规定解答即可． 【详解】 解：根据题意得：“”表示的数是， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）如果小明向东走28米记作米，那么小明向西走50米记作 米． 【答案】 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负；负数用负号 “-”和一个正数标记，正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写． 正数与负数表示意义相反的两种量，把向东走28米，记作米，那么向西走50米，就记作米． 【详解】解：小明向东走28米，记作米，那么向西走50米，可记作米． 故答案为：． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 【答案】(1)3月、5月、6月 (2)今年1月和4月的营业额与去年1月和4月的营业额相比降低； (3)月，月，月 【分析】本题考查了正数，负数的应用，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键． （1）找出表格中增长率为正数的即可得到答案； （2）根据负数的意义即可得到答案； （3）找出表格中增长率为负数和的即可得出的． 【详解】（1）解：∵是正数， ∴月，月，月是增长的； （2）解：今年月和月相比去年同月增长率是负数表示营业额下降； （3）解：∵和是负数，表示不变， ∴营业额没有增长的是月． 易错必刷题四、有理数的概念 1．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）下列说法中： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③非负数就是正数； ④是无限不循环小数 ，所以不是有理数； ⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（      ） A．5 个 B．4个 C．3 个 D．2个 【答案】B 【分析】此题考查了有理数，根据有理数的定义、分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：没有最小的整数，故①错误， 0既不是正数也不是负数，但是有理数，故②错误， 非负数是正数和0，故③错误， 是无限循环小数，是有理数，故④错误， 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑤正确， 综上可知，错误的说法为①②③④， 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）在数，，，中，有理数的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的定义，熟知有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，据此判定即可． 【详解】解：有理数有：，，，因此有3个， 故答案为：3． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）将下列有理数分类． ，，0，20，，，，，， (1)负数集合：{        ……}； (2)正数集合：{        ……}； (3)分数集合：{        ……}； (4)负整数集合：{        ……}； (5)负有理数集合：{        ……}． 【答案】见解析 【分析】(1)根据小于0的数，选择填写即可． (2)根据大于0的数，选择填写即可． (3)根据分数的定义，选择填写即可． (4)根据负整数，选择填写即可． (5)根据负有理数定义，选择填写即可． 本题考查了有理数的分类，熟练掌握分类标准，准确分类是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得负数集合：{，，，，……}． 根据题意，得正数集合：{20，，，，，……}． 根据题意，得分数集合：{，，，，……}． 根据题意，得负整数集合：{，，……}． 负有理数集合：{ ，， ，……}． 易错必刷题五、数轴 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图所示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的表示方法，根据数轴的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：A．不正确，错误原因：数轴单位长度不一致； B．正确； C．不正确，错误原因：缺少正方向； D．不正确，错误原因：缺少了原点． 故本题选：B． 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·期中）已知在同一数轴上，点到点的距离为4个单位，点到点的距离为3个单位，点到点的距离为 个单位． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查了数轴上的两点距离计算，先由题意得到，再分当点A和点C在点B同侧时，当点A和点C在点B异侧时，两种同情讨论求解即可． 【详解】解：∵点到点的距离为4个单位，点到点的距离为3个单位， ∴， ∴当点A和点C在点B同侧时，， 当点A和点C在点B异侧时，， 综上所述，点到点的距离为1或7个单位， 故答案为：1或7． 3．（24-25七年级上·山西·期中）在数轴上，点A、B、C、D的位置如图所示，请观察数轴，并解答下列问题： (1)表示有理数3的点是 ，在A、B、C、D这4个点中，距离原点最远的点表示的有理数是 ，在点B 的右侧与点B的距离为3个单位长度的点表示的有理数是 ． (2)在数轴上标出表示有理数的点M； (3)将，， 3这三个数用“”连接的结果是： ． 【答案】(1)A；；2 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，利用数轴比较有理数大小； （1）根据数轴上点的位置和数轴上两点距离公式求解即可； （2）根据数轴上表示有理数的方法求解即可； （3）根据数轴上左边的数小于右边的数进行求解即可． 熟知数轴与有理数的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得点A表示的有理数是，在A、B、C、D这4个点中，距离原点最远的点表示的有理数是；在点B 的右侧与点B的距离为3个单位长度的点表示的有理数； （2）解：如图所示，点M即为所求； （3）解：根据数轴可知，． 易错必刷题六、数轴上的动点问题 1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（    ）重合 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上规律问题，根据题意2和之间有个数，循环节为4，计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】∵根据题意2和之间有个数，循环节为4， ∴， ∴数轴上的数与圆周上的数重合， 故选C． 2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴，画出数轴，然后确定出点C的位置，再向左移动3个单位确定出点B，向右移动2个单位确定出A，即可得解，逆向思维确定出各点的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 【详解】解：如图所示： 点表示的数为4， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点． (1)若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是________； (2)若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是________； (3)若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是________． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得： ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴ ∴点B所表示的数是 易错必刷题七、相反数 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）的相反数是______，的相反数是_______； （2）的相反数是______，的相反数是_____； （3）的相反数是_______． A． B． C． D． 【答案】（1），；（2），；（3）C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数列式整理即可得解． 【详解】解：（1）的相反数是，的相反数是； 故答案为：，； （2）的相反数是，的相反数是； 故答案为：，； （3）的相反数是． 故选：C． 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，并且的立方等于它本身． (1)试求值； (2)若，且，，试求的值． (3)若，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】（1）根据题意得，进而有即可求得答案； （2）根据和之间的关系求得、和的正负，求得代入代数式即可求得． （3）根据条件求出m的值，代入即可转化为三个绝对值求最值，利用绝对值的意义即可求得． 【详解】（1）解：∵ 、互为相反数，、互为倒数， ，， ∴， ． （2），， ， ∴ ，， 的立方等于它本身， ∴ ， ∵， ， ∴ ， ， ， ∴ ． （3）∵， ∴， 无论还是都有， 根据绝对值的意义为x到、和的距离之和，只有可以取得最小值， 则． 故最小值为2024． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、绝对值性质及其意义、相反数和倒数的定义，解题的关键是绝对值的正负和到特定点之间的距离． 易错必刷题八、化简绝对值 1．（23-24七年级上·贵州黔南·期中）在数，0，1，，中，绝对值等于它本身的是（    ） A．0，1， B．1， C．0，1， D．0，，1 【答案】C 【分析】根据 绝对值的性质依次判断即可． 本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：依题意，的绝对值是1； 0的绝对值是0； 1的绝对值是1； ∵ ∴的绝对值是； 的绝对值是； 故绝对值等于它本身的是：0，1，． 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期末）已知，对多项式任意添加绝对值（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含加减运算，称这种操作为“添绝对值操作”，例如： 等，下列说法： ①至少存在一种“添绝对值操作”，使化简其结果与多项式相等； ②存在某种“添绝对值操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③若只添加一个绝对值，则所有可能的化简结果共有8种． 其中正确说法有 【答案】①②③ 【分析】根据绝对值的意义求解．本题考查了绝对值的化简、相反数的定义，理解新定义及绝对值是的意义是解题关键． 【详解】解：①， 故①正确； ②， 则，添绝对值变为16，则之和为0， 故②正确； ③， 可得：的符号不变，、、、的符号会发生变化， 列举法得到化简后的结果为：，，，，，，，，共八种， 故③正确， 故答案为：①②③ 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴是数形结合思想的重要载体，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离． (1)对于有理数，如果，那么可能对应下面数轴上的点________或点________．（填字母） (2)，表示有理数与0在数轴上对应的点之间的距离．事实上，数轴上任意两个数对应的点之间的距离都能用两数之差的绝对值来表示． 例如：与6在数轴上对应的点之间的距离可以记作或，结果是13． 那么，对于有理数： ①可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ②可以看作和________在数轴上对应的点之间的距离； ③若，请画出数轴并用数形结合思想求的值． 【答案】(1)A，D (2)①；②；③数轴见详解， 【分析】本题考查了绝对值的意义，在数轴上表示有理数以及数轴两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）化简绝对值，得，即可作答． （2）①依题意，可以看作和3在数轴上对应的点之间的距离； ②可以看作和在数轴上对应的点之间的距离； ③依题意作出数轴，再运用数形结合思想，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴可能对应下面数轴上的点A或点D． 故答案为：A，D； （2）解：依题意，①可以看作和3在数轴上对应的点之间的距离； 故答案为：； ②， ∴可以看作和在数轴上对应的点之间的距离； 故答案为：； ③∵， ∴和3在数轴上对应的点之间的距离等于和在数轴上对应的点之间的距离 如图： 此时， ∴． 易错必刷题九、绝对值非负性较 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知m表示有理数，则一定是（   ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．零 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值．根据负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，可得答案． 【详解】解：是有理数，则一定是0或正数， 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知是非负数，且非负数中最小的数是0． (1)已知，则的值是_________； (2)当________时，有最小值，最小值是______． 【答案】(1)3 (2)1，2 【分析】本题考查绝对值； （1）有绝对值的非负性可以得出，代入即可求出答案． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴当时，最小，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是， 故答案为：1，． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查了非负数的性质．根据绝对值的和为零，可得每个绝对值同时为零，可得答案． 【详解】解：由，得 ，． 解得，． 易错必刷题十、有理数的大小比 1．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）下面四个数中，最小的数为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）在中，最大的数是 ，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，解题的关键是学生对是无限不循环小数的掌握情况，学生有时认为就是，这是不正确的． 先把百分数化成小数，再根据小数大小的比较方法解答． 【详解】解：，是无限不循环小数， 即； 故最大的数是，最小的数是， 故答案为：；． 3．（23-24七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 【答案】为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算，理由见解析 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出三家商店需要花费的情况，然后比较大小即可． 【详解】解：为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 理由：由题意可得， 在甲店购买需要花费为：30×60×0.8＝1440（元）， 在乙店购买需要花费为：30×20+30×（60﹣20）×0.6＝1320（元）， 在丙店购买需要花费为：30×50＝1500（元）， ∵1320＜1440＜1500， ∴为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 【点睛】本题考查了有理数比较大小，解答本题的关键是明确题意，求出三个商店的花费情况． 易错必刷题十一、有理数的四则运算 1．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）选一选：下列算式中，先算除法，再算加法，最后算乘法的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数四则混合运算顺序，根据“先乘除、后加减，有括号先算括号里面的”逐项判断即可． 【详解】解：A，，先算乘法，再乘加法，最后算除法，不合题意； B，，先算加法，再算乘法，最后算除法，不合题意； C，，先算除法，再算加法，最后算乘法，符合题意； D，，先算加法，再算除法，最后算乘法，不合题意； 故选C． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）直接写得数 ①______．②______．③______④______． ⑤______．⑥______．⑦______． ⑧______．⑨______．⑩______． 【答案】①10；②0.09；③100；④；⑤；⑥6.25；⑦；⑧0.375；⑨430；⑩ 【分析】题目主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据有理数的混合运算法计算即可． 【详解】解：①． ②． ③ ④． ⑤． ⑥． ⑦． ⑧． ⑨． ⑩． 故答案为：10；0.09；100；；；6.25；；0.375；430；． 3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）电动车厂某周5天（周六、周日休息）计划生产辆电动车，平均每天生产电动车辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划每天的生产量相比有出入，下表是该周的实际生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 减增 (1)该厂星期一生产电动车______辆； (2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车______辆； (3)该厂实行计件工资制，每生产一辆电动车可得元，那么该厂工人这周的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)该厂工人这周的工资总额元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用等知识，理解正负数的意义并灵活运用加法运算律是解题的关键． （1）计划每天生产的电动车数与星期一增减数的和即可星期一实际生产的电动车数； （2）生产量最多的是星期四，生产量最少的是星期五，两者的差即是生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车的辆数； （3）计算出实际生产的电动车辆数，由每生产一辆电动车可得元，则可计算该厂工人这周的工资总额． 【详解】（1）（辆）， ∴该厂星期一生产电动车辆． （2）由表格可知，生产量最多的是星期四，生产量最少的是星期五， 其中星期四生产了（辆）， 星期五生产了（辆）， ∵（辆）， ∴生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产电动车辆． （3）一周实际生产（辆）， ∵每生产一辆电动车可得元， ∴该厂工人这周的工资总额为（元）． 易错必刷题十二、有理数混合运算的实际应用 1．（2024·辽宁大连·三模）某销售教辅材料的商家记录了6天以来每天的盈亏情况，并用“”表示盈利，“”表示亏损，他记录的表格如下： 天数/天 盈亏情况/元 1 2 3 4 5 6 下列关于盈亏说法正确的是（    ） A．6天以来亏损了4元 B．6天以来亏损了2元 C．6天以来盈利了12元 D．6天以来盈利了6元 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减的运用，根据题意列式计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 故6天以来亏损了4元， 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）某小学举行数学、语文、科学三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，语文179人， 科学165人，参加两科的：数学、语文143人， 数学、科学116人，语文、科学97人．三科都参加的：89人，这个小学参加竞赛的总人数为 人． 【答案】280 【分析】根据题意，至少参加一科的：数学203人，语文179人，常识165人．参加两科的：数学，语文143人，数学、常识116人，语文、常识97人，三科都参加的有89人．根据容斥问题，参加三科的人数为：人，由于三科都参加的有89人，所以这个小学参加竞赛的总人数为：．据此解答．本题考查了容斥问题的灵活运用，关键是明确它们之间的包含关系． 【详解】解：（人） 答：这个小学参加竞赛的总人数有280人． 故答案为：280． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）2023年7月26日，成都大运会火炬传递到了东安湖体育公园，下图为东安湖站的火炬传递线路图．按照图中路线规划可知，从105棒到120棒的16名火炬手平均每人传递里程为48米，以48米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了这16名火炬手中部分人的里程波动值． 棒次 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 里程波动值 2 6 3 0 5 5 4 1 (1)第113棒火炬手的实际里程为______米； (2)若第108棒火炬手的实际里程为49米． ①请写出第108棒火炬手的里程波动值； ②求第118棒火炬手的实际里程． 【答案】(1)； (2)；第棒火炬手的实际里程为米． 【分析】此题考查了正负数的应用，有理数的加减运算的实际应用，解题的关键是正确理解正负数，熟练掌握有理数的加减运算法则． （）根据正负数的应用即可求解； （）根据题意实际里程减去即可求解； 先求出第118棒火炬手的里程波动值，然后加上基准里程，即可求出实际里程． 【详解】（1）根据实际里程应为基准的米数加上波动值，由表格可知第113棒火炬手的里程波动值为， 则实际里程为为（米）， 故答案为：； （2）由第108棒火炬手的实际里程为米， ∴里程波动值为； 解：由题意得：所有选手里程波动值为， ∴第118棒火炬手的里程波动值为： ， 则第118棒火炬手的实际里程为：（米）， 答：第棒火炬手的实际里程为米． 易错必刷题十三、列代数式 1．（23-24七年级上·天津河西·期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边、、用篱笆围成，且这三边的和为40米．若设的长米，则的长度可以表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据图形，可以用含的代数式表示出的长度． 【详解】解：由图可得， 的长度可以表示为米， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）小悦跟同学在某餐厅吃饭，这家餐厅提供种点餐方案： A餐：一份拉面 B餐：一份拉面、一杯饮料 C餐：一份拉面、一杯饮料、一份沙拉 已知他们所点的餐点总共有份拉面，杯饮料，份沙拉． 则他们点A餐的数量为 （用含的式子表示）． 【答案】份 【分析】本题考查列代数式．能够根据题意，以拉面为依据，准确列出代数式是解题的关键． 根据点的饮料能确定在B和C餐中点了份拉面，根据题意可得点A餐份． 【详解】解：杯饮料则在B和C餐中点了份拉面， 点A餐为份． 故答案为：份． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）如图，一个跑道由两条半圆形的跑道和两条直道组成．已知每条直道的长都是米，半圆形跑道的直径是米． (1)用含，的代数式表示该跑道的周长； (2)用含，的代数式表示该跑道所围成的图形的面积； (3)当，时，求该跑道的周长（取3）． 【答案】(1)跑道的周长为米 (2)跑道所围成的图形的面积为平方米 (3)平方米 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据图形正确列代数式是解题关键． （1）根据图形，结合圆的周长公式列式即可； （2）根据长方形的面积和圆的面积公式列式即可； （3）将、的值代入（1）所得代数式求解即可． 【详解】（1）解：跑道的周长为米； （2）解：跑道所围成的图形的面积为平方米； （3）解：当，时，跑道的周长为（平方米）． 易错必刷题十四、用代数式表示数、图形的规律 1．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，是直线的垂线段，每次在两侧依次增加1条线段，则第20个图形中共有三角形的数量是（　　） A．820 B．840 C．40 D．20 【答案】A 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，根据所给图形，依次求出三角形的数量，发现规律代值求解即可解决问题．看懂图形，找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：由题知， 第1个图形中三角形的数量是：； 第2个图形中三角形的数量是：； 第3个图形中三角形的数量是：； 第4个图形中三角形的数量是：； …， 第个图形中三角形的数量是：， 当时，（个），即第20个图形中三角形的数量是820个， 故选：A． 2．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第10个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的规律问题，认真观察式子的规律是解题的关键．根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．再进一步解答即可． 【详解】解：∵当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴第n个式子是：． 当时，代数式为： 故答案为： 3．（2024七年级上·云南·专题练习）文化情境·传统文化 小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去． (1)摆第个图案需用______颗棋子； (2)按照此规律摆下去，摆第个图案需要______颗棋子（用含的代数式表示）； (3)当需要摆第个图案时，现在共有个棋子，是否够用？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不够，理由见解析 【分析】本题考查整式——图形类规律探索，找出变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形中棋子的个数找出规律，即可求解； （2）根据（1）中得出的规律，用含的代数式表示出第个图案中棋子的个数即可； （3）根据（2）中结论，令求出棋子数量，再与比较即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，第个图案中有颗棋子，， 第个图案中有颗棋子，， 第个图案中有颗棋子，， ……以此类推， 第个图案中棋子个数为：， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，摆第个图案需要颗棋子， 故答案为：； （3）不够，理由如下： 当时，， 故摆第2025个图案时个棋子不够用． 易错必刷题十五、求代数式的值 1．（23-24七年级上·宁夏银川·期中）若，，且，则等于（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的含义，有理数的加减运算，求解代数式的值，理解绝对值与乘方的逆运算是解本题的关键． 通过可得a、b异号，再由，，，可得，或，；就可以得到的值 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或， 故选C． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可． 【详解】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 3．（24-25七年级上·甘肃定西·期中）【例题呈现】 已知代数式：的值为9，则代数式的值为_______． 【解法呈现】 由题意得，则有， ，所以代数式的值为9． 【方法运用】 (1)若，则代数式______． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键． （1）由题意得，整体代入中求值即可； （2）由题意得，，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：由题意得，则有， ， 所以代数式的值为． 易错必刷题十六、单项式 1．（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列式子、、、、、、中，单项式的个数是（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式的定义，即数字与字母的乘积、字母与字母的乘积和单个的数字、字母都是单项式，根据单项式的定义判断即可． 【详解】解：根据单项式的定义可知，、和为单项式，共3个， 故选：B． 2．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式系数的定义，单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 根据单项式系数的定义求解即可． 【详解】单项式的系数是． 故答案为：． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）观察下列单项式：，，，…，，，…从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是______ 系数的绝对值规律是______； (2)次数的规律是______； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是______． (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是______． 【答案】(1)奇数项为负，偶数项为正，与自然数序号相同； (2)与自然数序号相同 (3) (4) 【分析】本题主要考查单项式的系数、次数及规律问题，熟练掌握单项式的系数、次数及规律问题是解题的关键； （1）（2）可通过观察题意可得：奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，且系数的绝对值与自然数序号相同，次数也与自然数序号相同． （3）根据（1）（2）中结论可解出本题； （4）根据（3）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可知： 系数的规律有两条：系数的符号规律是奇数项为负，偶数项为正；系数的绝对值规律是与自然数序号相同； 故答案为奇数项为负，偶数项为正，与自然数序号相同； （2）解：由题意得次数的规律是与自然数序号相同； 故答案为与自然数序号相同； （3）解：由（1）（2）可知： 第个单项式是； 故答案为； （4）解：由（3）可知： 第2025个单项式是； 故答案为 易错必刷题十七、多项式 1．（23-24七年级上·吉林·开学考试）下列说法正确的是 （     ） A．的系数是 B．是六次单项式 C．的常数项是6 D．是三次三项式 【答案】A 【分析】本题考查了单项式和多项式的知识，熟练掌握单项式、多项式的相关概念是解题关键．由数和字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．几个单项式的和，叫做多项式；多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数；多项式中不含字母的项叫做常数项．根据单项式和多项式的相关概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 的系数是，该说法正确，符合题意； B. ，故是四次单项式，原说法不正确，不符合题意； C. 的常数项是，原说法不正确，不符合题意； D. 是四次三项式，原说法不正确，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）若是关于x的五次四项式，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式的项、次数的定义．由于是关于的五次四项式，则需满足，，代入即可得的值． 【详解】解：多项式是关于的五次四项式， ，， ． 故答案为：． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）用16块面积都是S的正方形地砖铺一块正方形的地面，中间4块地砖是蓝色地砖，其他的12 块地砖都是白色地砖，如图所示．如何用一次式表示白色地砖总面积？ 【答案】 【分析】本题考查了列一次式，根据图形得出白色地砖总面积也等于正方形地面总面积减去蓝色地砖总面积是解题的关键． 【详解】解：由图可以知白色地砖总面积也等于正方形地面总面积减去蓝色地砖总面积， ∴， 即． 易错必刷题十八、合并同类项 1．（23-24七年级上·河南信阳·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项，根据同类项的定义以及合并同类项法则一一判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B．，计算正确，故该选项符合题意； C．与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）去括号，合并同类项得： ． 【答案】1 【分析】本题考查整式的化简，将原式去括号后合并同类项即可． 【详解】解：原式， 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）把下列多项式合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟知合并同类项的法则是解题的关键． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 易错必刷题十九、去括号、添括号 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐个判断即可． 【详解】解∶A．，故选项A正确，不符合题意； B． ，故选项B正确，不符合题意； C．，故选项C正确，不符合题意； D．，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）在括号内填上适当的项： （1）( )； （2）( ) ． 【答案】 【分析】（1）根据添括号法则求解即可； （2）根据添括号法则求解即可． 【详解】解：（1）所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号，故． （2）所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不改变符号，故． 故答案为：；. 【点睛】本题考查了添括号法则，熟练掌握添括号法则是解题的关键． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了去括号，解题的关键是掌握去括号法则：将括号前的因式分别乘以括号内的每一项． （1）根据去括号法则将括号展开即可； （2）根据去括号法则将括号展开即可； （3）根据去括号法则将括号展开即可； （4）根据去括号法则将括号展开即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 易错必刷题二十、整式的加减中的化简求值 1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 原式=， 故选：B． 2．（23-24七年级上·广西桂林·期中）已知，，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减，解题关键在于把多项式进行化简整理，注意要把、作为一个整体，代入数据进行计算． 把多项式进行化简整理，用、来表示，然后代入数据计算． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）已知， (1)当时，试求出A的值； (2)当，时，请求出的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将x的值代入A计算即可得到结果； （2）将A与B代入中，去括号合并得到结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解： ， 当，时， 原式． 易错必刷题二十一、整式加减的应用 1．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长为（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查整式的加法运算．大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到两个直角梯形的上底为，下底为，根据拼成的长方形的另一边为直角梯形的上底加下底的和，进行计算求解即可． 【详解】解：∵大正方形的边长为，小正方形的边长为，， ∴剩余的两个直角梯形的上底为，下底为， ∴矩形的另一边为梯形上、下底的和，即：； 故选：B． 2．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（发车间隔问题）甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车．小王骑自行车每隔12分钟就被一辆后面开来的电车追上，每隔8分钟就与一辆迎面开来的电车相遇．那么相邻两辆电车的发车时间相差 分钟． 【答案】 【分析】本题考查发车间隔问题，设电车的速度为：米分钟，自行车速度为：米分钟，根据发车时间间隔固定，得到相邻两车的距离总是固定的，从而得到a和b的关系式，再根据距离除以速度得到时间． 【详解】解：设电车的速度为：米分钟，自行车速度为：米分钟， ∵发车时间间隔固定， ∴相邻两车的距离总是固定的， ∴， 化简得， ∵相邻两辆电车之间的距离是米， ∴相邻两辆电车的发车时间相差分钟， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）某小型工厂生产碗团和大黄米，每日两种产品合计生产1200袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天生产碗团x袋． 产品 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 碗团 35 40 大黄米 11 13 (1)用含x的整式表示每天的生产成本和每天获得的利润，并化简（利润售价成本）． (2)当时，求每天的生产成本与每天获得的利润． 【答案】(1)每天的生产成本为元，每天获得的利润为元 (2)每天的生产成本为22800元，每天获得的利润为3600元 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减、代数式求值，熟练掌握整式加减的应用是解题关键． （1）根据成本等于每袋的成本乘以数量、利润计算公式求解即可得； （2）将代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，每天生产大黄米为袋， 则每天的生产成本为（元）， 每天获得的利润为（元）， 答：每天的生产成本为元，每天获得的利润为元． （2）解：当时，每天的生产成本为（元）， 每天获得的利润为（元）， 答：每天的生产成本为22800元，每天获得的利润为3600元． 易错必刷题二十二、直线、射线、线段 1．（2024·河北保定·二模）如图中四条线段a，b，c，d和线段e在同一条直线上的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段，射线，直线，利用直尺动手画出图形是解题的关键，利用直尺画出遮挡的部分即可得出结论． 【详解】解：利用直尺画出图形如下： 可以看出线段b与e在一条直线上． 故选：B． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图，图中有 条射线，分别是 ．    【答案】 射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线 【分析】根据图的提示，结合直线，射线，线段的基本概念，即可求解． 【详解】解：端点是点的射线有条，它们分别是：射线，射线； 端点是点的射线有条，它们分别是：射线，射线，射线，； 端点是点的射线有条，它们分别是：射线，射线； 端点是点的射线有条，它是：射线； 故合计条射线， 故答案为：；射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线． 【点睛】此题考查了射线的概念，熟练根据定义判断射线是解题的关键． 3．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）按要求完成作图及作答： (1)如图1，平面上有四个点，，，，作射线； (2)如图1，取一点，使点既在直线上又在直线上； (3)如图1，若点到，，，四点距离之和最短．画出点的位置； (4)如图2，平面内三条直线交于、、三点，点、是平面内另外两点，若分别过点、各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增__________个交点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)7 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，直线的性质：两点之间，线段最短，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质． （1）按要求作射线即可． （2）根据题干的条件点既在直线上又在直线上，所以点是直线与直线的交点． （3）本题考查“两点之间，线段最短”，结合图形理解概念即可解题． （4）本题考查两直线相交，有且只有一个交点，结合图形和题干的条件分析，即可解题 【详解】（1） （2） （3） （4）解：平面内有3条直线，过点作的直线，最多与这3条直线都有交点，则增加3个交点，过点作的直线，最多与平面内现有的4条直线都有交点，则增加4个交点，综上所述，最多可增加7个交点． 故答案为：7． 易错必刷题二十三、线段中点的有关计算 1．（23-24七年级上·四川乐山·开学考试）如图：数轴上点、、表示的数分别是，，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点．若，则（ ） A．4.5或5.5 B．5.5或6.5 C．5.5或7.5 D．4.5或7.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点中点计算公式，先求出点C表示的数， 再根据数轴上两点距离计算公式求出点E表示的数，据此可得答案． 【详解】解：∵、表示的数分别是，，且点为线段的中点， ∴点C表示的数为， ∵点表示的数为1，， ∴点E表示的数为或， ∵点为线段的中点， ∴点F表示的书为或， ∴或 故选：D． 2．（23-24七年级上·安徽淮南·开学考试）如图．已知线段，点N在线段上 ，，M是中点，那么线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义和线段的和差计算，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．先根据线段中点的定义求出，再根据线段的和差即可求得答案． 【详解】∵，M是中点， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）补全解题过程．已知：如图，点是线段上一点，点是线段的中点，，．求线段的长度． 解：∵，（已知），∴_____________； ∵点是线段的中点（已知），∴____________（线段中点的定义） ∵，∴____________． 【答案】；；；；；． 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段和差的计算；由，，求出，根据中点的定义，可知，再由，即可求解． 【详解】解：因为，（已知）， 所以． 因为点是线段的中点（已知）， 所以（线段中点的定义）， 因为， 所以． 故答案为：；；；；；．． 易错必刷题二十四、角的相关概念与计算 1．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）下列判断中正确的是（    ） A．角是由两条射线组成的图形 B．一条直线就是一个平角 C．如果线段，那么点叫做线段的中点 D．经过两点有且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了角、射线的定义以及直线的性质．利用有公共端点是两条射线组成的图形叫做角以及射线的定义以及直线的性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误，本选项不符合题意； B、角和线是不同的概念，不能说一条直线就是一个平角，原说法错误，本选项不符合题意； C、当点B在线段上时，如果线段，那么B叫做线段的中点，原说法错误，本选项不符合题意； D、经过两点有且只有一条直线，说法正确，本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）已知都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是，其中只有一人计算正确，他是 ． 【答案】乙 【分析】本题重点考查了钝角的定义，大于90度小于180度的叫钝角，所以，，先计算的范围，再计算 的范围，即可确定哪一个是正确的． 【详解】解：∵，都是钝角， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，，四个结果中，只有48°是正确的． 所以算的正确的是乙． 故答案为：乙． 3．（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图，已知，平分，平分． (1)请你数一数，图中共有______个小于平角的角； (2)求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算．找准角度之间的和差关系，是解题的关键． （1）数出角的个数即可； （2）先求出的度数，根据角平分线的性质，求出的度数，两角的差即为的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴图中小于平角的角有，共10个角； 故答案为：10； （2）由（1）知， ∵平分，平分， ∴， ∴． 易错必刷题二十五、几何图形中的角度计算 1．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）把两个同样大小的三角尺像如图那样放在一起，两个直角顶点互相重合，即，如果，那么 ． 【答案】144 【分析】本题考查了几何图形的角的运算，利用角的和差定义进行列式计算求解； 【详解】解：， ∴ ∴ ∴ 故答案为：144 2．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了角平分线的性质、邻补角的定义，解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握性质、定义．根据角平分线的性质，得到，，再根据题意和邻补角互补，即可算出结果． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊角，在①，②，③，④，⑤，⑥，六个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是__________；（填序号） （2）在图①中，求的度数； （3）如图①，先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角的顶点与角的顶点互相重合，且边、都在直线上（图①），固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度（如图②），当平分时，求旋转角的度数． 【答案】（1）⑤；（2）；（3） 【分析】本题考查了角的和差计算和角平分线的定义，熟练掌握角的和差及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）根据三角板中角的度数解答即可； （3）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，进一步得到结论． 【详解】解：（1），，，，， 不是的倍数，不能写成，，，的和或差，故画不出； 故答案为：⑤； （2），， ； （3）， ； 平分， ， ， 旋转角． 易错必刷题二十六、角平分线有关的计算 1．（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，是的平分线，是的平分线，那么下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算．根据角平分线的定义可得，再逐项判断即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴，，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 2．（23-24七年级上·广东湛江·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论: ①当时，； ②为的平分线； ③若，则； ④． 其中正确的结论有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，余角的性质，数形结合是解决本题的关键． 由邻补角，角平分线的定义，余角的性质进行依次判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 故①正确； ∵平分， ∴， ∴， 故④正确； ∵， ∴， ∴ 故③正确； 若为的平分线，则， ∴， ∴，而无法确定， ∴无法说明②的正确性； 故答案为：①③④． 3．（23-24七年级上·天津·期末）探究题：已知O为直线上的一点，以O为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则________． (2)若将绕点O旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点O旋转至图3的位置，射线仍然平分求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先由平角的定义求出的度数，进而根据角的和差关系求出的度数即可； （2）由角平分线的定义得到，再用分别表示出和，据此可得结论； （3）先由平角的定义和角平分线的定义得到，，再由可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 易错必刷题二十七、多边形的概念与分类 1．（23-24七年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．若，则点是线段的中点 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．钟表显示9点，此时时针与分针的夹角是 【答案】D 【分析】此题主要考查了正多边形的定义、线段中点的定义、圆心角的定义、钟表问题等知识．根据正多边形的定义、线段中点的定义、圆心角的定义、钟表问题等知识进行判断即可 【详解】解：A、各边相等，各角都相等的多边形是正多边形，故选项错误，不符合题意； B、若，且点C在线段上，则点是线段的中点，故选项错误，不符合题意； C、顶点在圆心，两条边与圆有交点所形成的角叫做圆心角，故选项错误，不符合题意； D、钟表显示9点，此时时针与分针的夹角是，故选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图所示的多边形分别是 、 、 、 和 ．    【答案】 四边形 五边形 八边形 四边形 五边形 【分析】根据多边形的定义，数出边数即可求解． 【详解】解：如图所示的多边形分别是（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形； 故答案为：（1）四边形；（2）五边形；（3）八边形；（4）四边形；（5）五边形． 【点睛】本题考查了多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的 线段 首尾顺次连接且不 相交 所组成的封闭图形叫做多边形． 3．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）如图，求多边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了求多边形的面积，根据题意可得多边形由梯形和长方形构成，即可得；掌握多边形由梯形和长方形构成是解题的关键 【详解】解：有图象可得： 答：多边形的面积为． 易错必刷题二十八、圆的周长和面积问题 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【详解】解：因为四边形内角和为， 所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填． 如图所示，将圆形平分16等份，并拼成一个近似的三角形，用表示圆周率，用r表示圆的半径，那么：三角形的底是圆的周长的( )，表示为( )，三角形的高是圆的半径的( )倍，表示为( )，圆形和三角形的( )相等．请你根据三角形的面积公式推理出圆的面积公式，并写出推导过程． 【答案】 4 4r 面积 【分析】本题考查圆的面积公式推导过程的应用，把圆剪拼成一个近似三角形，找出三角形的底、高与圆周长、半径的关系是解题的关键． 从图中可以看出，拼成的近似三角形的底是圆周长的，根据圆的周长公式得出三角形的底是；三角形的高是圆的半径的4倍，即高是；因为圆的面积等于三角形的面积，根据三角形的面积底高，即可推导出圆的面积公式． 【详解】解：如图所示，将圆形平分16等份，并拼成一个近似的三角形，用表示圆周率，用r表示圆的半径，那么：三角形的底是圆的周长的，表示为，三角形的高是圆的半径的4倍，表示为，圆形和三角形的面积相等． 因为三角形的面积底高， 所以圆的面积， 所以，圆的面积． 故答案为：，，4，，面积 3．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）求出下图阴影部分的周长和面积．单位：厘米（圆周率用π表示） 【答案】阴影部分的周长为（6π+16）厘米，面积为（48-9π）平方厘米 【分析】根据阴影部分的周长＝一个圆的周长+矩形长的2倍，阴影部分的面积＝矩形的面积﹣一个圆面积计算即可． 【详解】解：由题意知，周长＝π×6+2×8＝6π+16（厘米）； 面积＝8×6﹣π×＝48﹣9π（平方厘米）， 答：阴影部分的周长为（6π+16）厘米，面积为（48-9π）平方厘米． 【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式，熟练掌握圆的周长和面积公式是解题的关键． 易错必刷题二十九、等式的性质 1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立． 根据等式的性质解答． 【详解】解：A．若，则，故该项不符合题意；     B．若，则，故该项不符合题意； C．若，且则，故该项符合题意；     D．若，则，故该项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东珠海·期末）已知，用含x的式子表示 ． 【答案】 【分析】此题主要考查等式的性质变形， 根据等式的性质进行变形即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）利用等式的性质解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；熟练掌握等式的性质是解题的关键．结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可． 【详解】（1）解： 两边同时减去，得 ， 解得． （2）解： 两边同乘，得 ， 解得． （3）解： 两边同时减去得， ， 两边同除以得， 解得． （4）解： 两边减去得 ， 解得． 易错必刷题三十、一元一次方程的解法 1．（23-24七年级上·河北沧州·单元测试）下列方程变形正确的是（    ） A．方程化成 B．方程，去括号，得 C．方程移项得 D．方程，未知数系数化为，得 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程解法．根据去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1对各个选项逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、将方程系数化整为，该选项变形错误，不符合题意； B、将方程去括号，得，该选项变形错误，不符合题意； C、将方程移项得，该选项变形正确，符合题意； D、将方程未知数系数化为，得，该选项变形错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东聊城·期末）当代数式取最大值时，方程的解是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了偶次方非负数的性质，解一元一次方程，根据平方数非负数的性质求出m的值，从而得到一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当，即时，取最大值， 此时方程为：， 解得． 故答案为：5． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)______； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出a方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1） ． （2）， ，解得； （3），， ， ， 则， ． 易错必刷题三十一、一元一次方程实际应用（销售、数字、古代）问题 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊．若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/本） 售价（元/本） 20 13 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ 【答案】(1)甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元； (2)甲类书刊购进350本，乙类书刊购进450本． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，准确找到等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6400元”，列出方程即可； （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，结合“购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售完后总利润为5750元”，列出方程求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ， 答：甲类书刊的进价是10元，乙类书刊的进价是8元． （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本， 由题意得，， 解得：， ， 答：甲类书刊购进350本，则乙类书刊购进450本． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”（如图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． (1)如图2是一个“和幻方”，则_____； (2)如图3是一个“积幻方”，求的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图4所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，求的值． 【答案】(1)10 (2)16 (3)6 【分析】本题主要考查了有理数的运算，解一元一次方程的应用， 对于（1），先求出斜对角线的三个数的和，再根据题意列出关于x，y，z的方程，整体思想可求出答案； 对于（2），根据第一行求出三个数字的积，再列出关于m，n的方程，求出解即可； 对于（3）根据题意可得，再消去x，y，整体代入可得答案． 【详解】（1）根据题意可知，，， 三个式子相加，得， 解得． 故答案为：10； （2）根据题意，得， 解得， 所以； （3）根据题意，得， ，得，，得． 因为， 所以． 易错必刷题三十二、一元一次方程实际应用（行程、工程、几何）问题 1．（24-25七年级上·全国·期末）甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【答案】动车组列车的平均速度为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设高铁的平均速度为，建立方程解答即可，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 【详解】设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为， 由题意，得， 解得， 答：动车组列车的平均速度为． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需天，乙单独完成需天，现在先由甲单独做8天剩下的部分由甲、乙合做完成．甲、乙两人合做了多少天？ 分析：这个问题中的等量关系：全部工作量=甲单独做的工作量+______． 设：甲、乙两人合做了x天，可以根据表格分析数量关系：(请补全表格) 工作方式 工作效率 工作时间(天) 工作量 甲单独做 8 甲、乙合做 ①______ ②______ 合计 1 根据题意列方程为：______；解得______；答：略． 【答案】见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，把总工作量看作单位“1”，根据全部工作量=甲单独做的工作量+甲、乙合做完成的工作量，完成填空，即可求解． 【详解】解：全部工作量=甲单独做的工作量+甲、乙合做完成的工作量， 设甲、乙两人合做了天， ∵甲单独完成需天，乙单独完成需天， ∴甲、乙合做的工作效率为， ∴甲、乙合做完成的工作量为， 根据题意列方程为：， 解得：， 答：甲、乙两人合做了4天． 故答案为：：甲、乙合做完成的工作量，；；；． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，将一张正方形纸片第一次剪成4张大小相同的小正方形纸片，第二次将其中的一张小正方形纸片按同样的方法剪成4张更小的正方形纸片，如此继续剪下去．    (1)填写表格： 剪的次数 1 2 3 4 5 … 正方形纸片的张数 ______ ______ ______ ______ ______ … (2)剪n次一共可以剪出多少张小正方形纸片（用含n的代数式表示）？ (3)能否经过若干次分割后，共得2024张纸片？请说明理由． 【答案】(1)4，7，10，13，16； (2)张 (3)不能．理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用： （1）每一次剪的时候，都是把上一次的图形中的一个来剪．所以在4的基础上，依次多3个，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可； （3）根据（2）所求得到方程，看方程是否有正整数解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 剪的次数 1 2 3 4 5 … 正方形纸片的张数 4 7 10 13 16 … （2）解：由（1）可知，每剪一次，小正方形的数量都会比前一次多3， ∴剪n次一共可以剪出张小正方形纸片 （3）解：不能经过若干次分割后，共得2024张纸片，理由如下： 令， 解得， 此时n不是正整数， ∴不能经过若干次分割后，共得2 024张纸片． 易错必刷题三十三、数据的收集 1．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列调查中，适合采用全面调查的是（    ） A．订购七年级校服时了解学生衣服的尺寸 B．中央电视台某节目的收视率 C．了解我市初中学生每周参加体育运动的时间 D．了解某灯泡厂生产的灯泡的使用寿命 【答案】A 【分析】根据抽样调查和全面调查的特点，选择合适的调查方式． 本题考查了调查的两种方式，熟练掌握两种方式使用的基本特点是解题的关键． 【详解】解：调查订购七年级校服时了解学生衣服的尺寸，采用全面调查方式， ∴A符合题意； 调查中央电视台某节目的收视率，采用抽样调查方式， ∴B不符合题意； 了解我市初中学生每周参加体育运动的时间，采用抽查方式， ∴C不符合题意； 了解某灯泡厂生产的灯泡的使用寿命，采取抽样调查的方式， ∴D不符合题意； 故选A． 2．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）李老汉要估计自己鱼塘里有多少条鱼，第一次捞出条，把它们做上标记后放回鱼塘．当它们混合鱼群后，又捞出条，其中带有标记的有条．问李老汉的鱼塘中估计有 条鱼． 【答案】 【分析】本题主要考查样本估计总体的方法，解题的关键就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体． 【详解】解：根据样本估算整体的方法，得（条）． 故答案为： 3．（2024·陕西西安·模拟预测）5月25日是全国心理健康日，某校想了解八年级学生对心理健康知识的掌握情况，随机抽取了20名学生的测试成绩（满分10分）． 【数据收集】随机抽取的20位学生成绩： 【数据整理】将收集的数据进行整理统计并绘制了如图所示不完整的统计图： 【任务要求】请根据以上信息解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)所抽取学生成绩的众数是_________分，中位数是_________分，平均数是_________分； (3)若该年级共有1000名学生，请你估计这1000名学生成绩大于等于7.5分的学生有多少人． 【答案】(1)见解析 (2)；7；； (3)300人 【分析】题目主要考查画条形统计图，求众数、中位数及平均数，用样本估计总体，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出7分的人数5人，分的人数有4人，然后补全条形统计图即可； （2）根据众数、中位数及平均数的定义及计算方法求解即可； （3）用总人数乘以大于等于分的学生所占的比例即可． 【详解】（1）解：根据题意得：7分的人数5人，分的人数有4人，补全统计图如下： （2）成绩为6.5分出现的次数最多，故众数为分； ∵， ∴第10、11位的数据分别为7分和7分， ∴中位数为：分， 平均数为：分， 故答案为：；7；； （3）人 ∴估计这1000名学生成绩大于等于分的学生有300人． 易错必刷题三十四、数据的表示 1．（23-24七年级上·甘肃定西·开学考试）为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1min仰卧起坐次数，并绘制如图所示的频数直方图，请根据图中的信息，计算仰卧起坐次数在次的百分比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查频数分布直方图，根据题意和统计图中的数据可以得到仰卧起坐次数在次的百分比，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 仰卧起坐次数在次的百分比是：， 故选：A． 2．（2024七年级上·云南·学业考试）如图是某校随机调查部分学生对篮球、乒乓球、足球羽毛球四类运动项目喜爱情况的统计图．已知此次参加调查的学生中喜爱乒乓球的学生有200人，则该校参加此次调查的学生共有 人． 【答案】500 【分析】本题主要考查了扇形统计图，由喜欢乒乓球的学生人数除以扇形统计图中喜欢乒乓球的学生人数的占比即可求出答案． 【详解】解：（人） 故答案为：500． 3．（2024·湖南·模拟预测）年5月日点分，袁隆平在湖南长沙逝世；年月3日，袁隆平科研团队培育的超级稻在徐州试种取得成功；超级稻“利两优”完亩产达到公斤．如图，为该科研团队为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图． (1)本次抽取的样本水稻秧苗为______株； (2)求出样本中苗高为的秧苗的株数，并完成折线统计图； (3)根据统计数据，若苗高大于或等于视为优良秧苗，请你估算该试验田株水稻秧苗中达到优良等级的株数． 【答案】(1) (2)本次抽取的样本水稻秧苗为株，补全折线统计图见解析 (3)估算该试验田株水稻秧苗中达到优良等级的株数有株 【分析】本题主要考查扇形统计图和折线统计图，样本估计总体，准确找出相关数据，是解题的关键． （1）用的水稻株数对应的百分数，即可求解； （2）求出和的水稻株数，进而可补全统计图； （3）用优良等级的百分比，即可求解． 【详解】（1）本次抽取的样本水稻秧苗为：（株）； （2）苗高为的秧苗的株数有（株）， 苗高为的秧苗的株数有（株）， 补全统计图如下： （3）（株）， 答：估算该试验田株水稻秧苗中达到优良等级的株数有株． 1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）“贵州特色”营养餐惠及农村娃．贵州省农村学生营养改善计划启动实施近5年来，目前已实现全省87个县全覆盖，1.25万所学校近400万农村娃，4000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的定义是解决问题的关键．科学记数法的定义：把一个数表示为的形式（其中，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法，当表示的数的绝对值大于10时，，n为正整数，n的值等于原数的整数部分的位数减1；当表示的数的绝对值小于1时，，n为负整数，n的值等于原数的第一个非0数字前面所有0（包括小数点前面的那个0）的个数的相反数． 根据科学记数法的表现形式解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．（2024七年级上·云南·学业考试）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．分别从系数，字母的指数两个方面进行找规律． 【详解】解：，，，，，，， 第个为：； 故选：C 3．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期末）下面给出的三个平面图形，是从前面、左面、上面看一个立体图形得到的，那么这个立体图形应是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．由主视图和左视图可得此几何体为锥体，再根据俯视图是四边形即可判断出此几何体的具体形状． 【详解】∵主视图和左视图都是三角形， ∴此几何体为锥体， ∵俯视图是一个正方形， ∴此几何体为四棱锥， 故选A． 4．（23-24七年级上·安徽·期末）如图，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，若，则（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段的和差关系，根据题意，利用中点定义及线段的和差逐次求出有关线段长，即可得解． 【详解】∵为线段的中点，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 故选：C 5．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）《九章算术》中记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问：人数几何？大意为：今有人合伙买金，一人出400，则多出3400；一人出300，则多出100，问：有多少人合伙买金？设有x人合伙买金，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“一人出400，则多出3400；一人出300，则多出100”，结合金的价格不标，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵一人出400，则多出3400， ∴金的价格为； ∵一人出300，则多出100， ∴金的价格为． ∴根据题意可列出方程为． 故选：A． 6．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）比较：，，的大小，用“”连接起来： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较、有理数的减法、化简多重符号，掌握有理数大小的比较方法是解题的关键． 【详解】解：，， 可知，， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·全国·单元测试）一个四棱柱被一刀切去一部分，剩下的部分可能是 . 【答案】三棱柱、四棱柱、五棱柱 【分析】三棱柱、四棱柱、五棱柱都有可能，关键是看切的位置．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法． 【详解】解：如图所示：三棱柱、四棱柱、五棱柱都有可能． 故答案为：三棱柱、四棱柱、五棱柱 8．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）某件商品标价是300元，打八折销售每件可获利50元，这件商品的进价是每件 元． 【答案】190 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设每件商品的进价为x元，根据题意列一元一次方程求解． 【详解】解：设每件商品的进价为x元， 由题意得，， 解得， 故答案为：190． 9．（24-25七年级上·浙江·开学考试）4个边长为小正三角形摆成①，接着摆放前4个图形如图所示，按这样的方式，那么第⑥个图形的周长是 cm；第19个整个图形形状是 ；第n个图形一共有 个着色三角形． 【答案】 等腰梯形 n 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，找出规律是解题的关键． 根据图形找出规律即可得到结论． 【详解】解：∵第①个图形的周长为， 第②个图形的周长为， 第③个图形的周长为， 第④个图形的周长为， 第⑤个图形周长为， 第⑥个图形的周长为， 第个整个图形形状是等腰梯形；第n个图形一共有n个着色三角形， 故答案为：，等腰梯形，n． 10．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）如图是由四个正方体拼接而成的图形，一只蚂蚁沿着正方体的棱爬行，从A经过B最终到达C的最短路线有 种． 【答案】9 【分析】从到最短爬行3条正方体的棱，有3种方法，从到同样最短爬行3条正方体的棱，也有3种方法，据此可知从经过到达的最短路线有几种．找出从到的最短路线有几种，从到的最短路线有几种，两者相乘就是从经过到达最短路线的种数． 【详解】解：从到的最短路线有3种，从到的最短路线也有3种． （种 所以从经过最终到达的最短路线有9种． 故答案为：9． 11．（2024七年级上·云南·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)29 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先去括号，去绝对值，再运用有理数加减运算法则计算； （2）先去括号，再运用有理数加减运算法则计算； （3）先去括号，把分母相同的结合起来，再运用有理数加减运算法则计算； （4）先去括号，再运用有理数加减运算法则计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（2024七年级上·云南·专题练习）如图所示，长方形的长为，宽为，半圆的半径为．（结果保留） (1)用整式表示阴影部分的面积； (2)当，，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式表示图形面积，代数式求值． （1）先求出长方形和半圆的面积，再用长方形面积半圆面积即可； （2）根据代数式求值步骤准确代入，计算即可． 【详解】（1）解：长方形的面积为：， 半圆的面积为：， ∴阴影部分的面积为：； （2）解：把，，代入，得， 即阴影部分的面积为． 13．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）已知一个长方体的表面展开图如图所示，请回答下列问题： (1)将展开图折叠还原为长方体后，与线段重合的线段是____，与点重合的点是_____． (2)已知长方体的表面展开图中，四边形是正方形，且，求长方体的体积． 【答案】(1) (2)长方体的体积为： 【分析】本题主要考查长方体的元素，立体图形的展开图，体积公式的计算，掌握立体几何图形的特点，点、棱、面的关系是解题的关键． （1）根据图示信息，结合长方体的特点分析即可求解； （2）根据题意可得，，根据四边形是正方形，得到四边形也是正方形，由此可得长方体的底面长为，宽为，高为，由体积公式即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得，将展开图折叠还原为长方体后，与线段重合的线段是，与点重合的点是点， 故答案为：； （2）解：根据长方体展开图可得，，， ∵长方体的表面展开图中，四边形是正方形， ∴四边形也是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴长方体的底面长为，宽为，高为， ∴长方体的体积为：． 14．（24-25七年级上·广西·阶段练习）一张长方形的餐桌可以坐6个人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子： (1)观察表中数据规律填空：___，____，_____； 餐桌张数 1 2 3 4 5 … 可坐人数 6 8 … (2)一家酒楼，按上图的方式拼桌，要使拼成的一张大餐桌刚好能坐人，请问需几张餐桌拼成一张大餐桌？ (3)若酒店有人来就餐，还有更好的拼桌方式吗？最少要用多少张餐桌？如果有，画出此时拼桌方式的示意图：如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)张 (3)有，图见解析，张 【分析】本题主要考查了数据规律的探究与实际应用；解题的关键是从题意观察、发现数据规律． （1）观察发现每多一张桌子多2人，第个图形中增加了张桌子，则增加了人，共坐人，将对应数据代入求值即可； （2）用（1）中的公式计算即可； （3）如图，由（1）同理可知，张桌子共坐人，当人数为时，求出，从而得出最少桌子数． 【详解】（1）解：观察发现每多一张桌子多2人， 第个图形中增加了张桌子， 则增加人，共坐人， 即人， 所以，，． （2）解：由（1）得，， 解得． （3）解：如图： 由（1）同理可知， 每多一张桌子多4人， 张桌子共增加了张桌子， 则增加了人，共坐人， 即张桌子共坐人， 则， 解得， 是正整数，， 最少要用张餐桌． 15．（24-25七年级上·全国·期末）与有共同的顶点，其中． (1)如图①，若，试判断与的大小关系，并说明理由，求的度数； (2)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若改变，的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． 【答案】(1)，理由见解析， (2)，理由见解析 (3)不成立， 【分析】本题考查的是角的计算，周角的定义，掌握角的和差关系是解答关键． （1）根据角的和差关系来求解； （2）根据角的和差关系，得到即可求解； （3）根据周角的下定义，角的和差关系求解． 【详解】（1）解：. 理由如下： 如图1， ∵，， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：． 理由如下： ∵， ； （3）解：在（2）中的关系不成立，． 理由如下： 如图2， ∵，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$