第1章 专题2 利用勾股定理解决最短路径问题(习题课件)-【初中学霸创新题】2023-2024学年八年级上册数学(北师大版)

第一章 勾股定理 专题2 　利用勾股定理解决最短路径问题 目 录 题型1 平面图形中的最短路径问题 题型2 立体图形中的最短路径问题 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例1 （河北保定雄县期末）高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为 AA′=2 km，BB′=4 km，A′B′=8 km. 现要在高速公路上A′，B′之间建一个出口 P，使 A，B 两城镇到 P 的距离之和最小，求这个最短距离. 题型1 平面图形中的最短路径问题 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 【规范解答】如图，作点B关于直线MN的对称点C， 连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口， 此时A，B两城镇到出口P的距离之和最小， 最短距离为AC的长. 作AD⊥BB'，垂足为点 D， 在 Rt△ADC 中，AD=A'B'=8 km， DC=AA'+B'C=AA'+BB'=2+4=6（km）， 所以 AC2=AD2+DC2=100， 所以 AC=10 km，故最短距离为10 km. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 1. （山东青岛崂山期中）如图，点A，B分别在直线m的上方. （1）在直线m上找到点P，使得AP+BP最短；（要求：保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若点A，B到直线m的距离分别为3.5 cm，8.5 cm，且点B在点A的东北方向，则AP+BP的最短距离为 cm. ⋮⋮ 变式训练 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 解：（1）如图1，点P即为所求点. （2）如图2，过点B作直线m的垂线交直线m于点E， 分别过点A，A'作AF⊥BE，垂足为F， A'D⊥BE交BE的延长线于点D，连接AB. 由题意，得DE=A'C=AC=3.5 cm，BE=8.5 cm， 所以 BD=BE+DE=8.5+3.5=12（cm）. 因为点 B 在点 A 的东北方向，所以∠BAF=45°， 易得△ABF是等腰直角三角形， 所以 AF=BF=8.5-3.5=5（cm），所以 A'D=5 cm， 所以 A'B2=A'D2+BD2=52+122=132， 所以A'B=13 cm，即AP+BP的最短距离是13 cm. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例2 （河南洛阳洛龙期中）如图，圆柱形玻璃杯的高为 12 cm，底面周长为 18 cm. 在杯内壁离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁距杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从杯外壁A处到内壁C处的最短距离. 题型2 立体图形中的最短路径问题 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 【规范解答】如图所示，将圆柱侧面的一半展开， 作点A关于EB 的对称点 A'，连接 A'C， 则 A'C 的长即最短距离 . 过点 A'作 A'D⊥CB 交 CB 的延长线于点 D， 由题意可知，A'D=18÷2=9（cm）， CD=12-4+4=12（cm）， 由勾股定理，得 A'C2=A'D2+CD2=92+122=152， 所以A'C=15 cm， 故蚂蚁从杯外壁A处到内壁C处的最短距离为15 cm. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 2. （山东济南天桥阶段练习）如图，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要 （ ） A. 12 cm B. 11 cm C. 10 cm D. 9 cm ⋮⋮ 变式训练 C 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 【解析】如图，将长方体的侧面展开，连接AB'， 则AA'=3+1+3+1=8（cm），A'B'=6 cm， 所以 AB' 2=82+62=100，所以 AB'=10 cm. 即所用细线最短需要 10 cm. 故选 C. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 绿卡图书—走向成功的通行证 $$