第1章 专题1 利用勾股定理解决折叠问题(习题课件)-【初中学霸创新题】2023-2024学年八年级上册数学(北师大版)

第一章 勾股定理 专题1 　利用勾股定理解决折叠问题 目 录 题型1 折叠构造直角三角形 题型2 折叠构造全等三角形 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 变式3 典例1 （山东济宁中考）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90° ，AB=2，AC=3. 沿过点 A 的直线将纸片折叠，使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点 C 与点 D 重合，若折痕与 AC 的交点为 E，则AE的长是 （ ）A. B. C. D. 题型1 折叠构造直角三角形 A 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 变式3 【解析】因为沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B落在边 BC 上的点 D 处， 所以 AD=AB=2，∠B=∠ADB. 因为折叠纸片，使点 C 与点 D 重合，所以 CE=DE，∠C=∠CDE. 因为∠BAC=90°，所以∠B+∠C=90°，所以∠ADB+∠CDE=90°， 所以∠ADE=90°，所以 AD2+DE2=AE2. 设 AE=x，则 CE=DE=3-x，所以22+（3-x）2=x2， 解得x=，所以AE=. 故选A. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 变式3 1. （江苏徐州中考）如图，将长方形纸片 ABCD 沿 CE折叠，使点 B 落在边 AD上的点F处.若点E在边AB上，AB=3，BC=5，则AE= . ⋮⋮ 变式训练 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 变式3 【解析】在长方形ABCD中，∠A=∠D=90°，CD=AB=3，AD=BC=5， 由翻折变换的性质，可知 FC=BC=5，EF=BE， 在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF2=FC2-CD2=16， 所以DF=4 ，所以 AF=AD-DF=1. 设 AE=x ，则 BE=EF=3-x ， 在Rt△AEF 中，由勾股定理， 得 EF2=AE2+AF2， 即（3-x）2=x2+12，解得x=，即AE=. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 变式3 2. （河南三门峡湖滨校级阶段练习）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.若AB=4，BC=8，求D′F的长. 解：由题意，得∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=8， 由折叠的性质，得∠D'=∠D=90°，AD'=CD=4，D'F=DF. 设 D'F=DF=x，则 AF=8-x. 在 Rt△AFD'中，由勾股定理， 得 AD'2+D'F2=AF2，即42+x2=（8-x）2， 解得x=3，所以D'F=3. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 变式3 典例2 （广东佛山禅城校级阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm ，BC=8 cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它恰好落在斜边 AB 上，且与AE重合，求BE的长和△ABD的面积. 题型2 折叠构造全等三角形 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 变式3 【规范解答】由折叠知Rt△ACD≌Rt△AED， 所以CD=ED，AC=AE=6 cm， 在 Rt△ABC 中，AC=6 cm，BC=8 cm， 所以 AB2=AC2+BC2=36+64=100， 所以 AB=10 cm，所以 BE=AB-AE=10-6=4（cm）. 设CD=DE=x cm，则BD=（8-x）cm. 在Rt△DEB中，DE2+BE2=BD2，所以 x2+42=（8-x）2， 解得 x=3，所以 CD=DE=3 cm， 所以S△ABD=×AB×DE=×10×3=15（cm）2. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 变式3 3. （山东济南槐荫期末）如图，在长方形 ABCD中，将△BAD 沿对角线BD翻折，点A落在点E处，DE与BC交于点F. （1）试说明：△BEF≌△DCF； （2）若BC=9，DC=3，求DF的长. ⋮⋮ 变式训练 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 变式3 解：（1）在长方形ABCD中，将△BAD沿对角线BD翻折， 点A 落在点 E 处，DE 与 BC 交于点 F， 所以∠E=∠A=∠C，BE=BA=DC. 在△BEF 与△DCF 中， 因为∠BFE=∠DFC，∠E=∠C，BE=DC， 所以△BEF≌△DCF. （2）因为△BEF≌△DCF，所以 BF=DF. 设 BF=DF=x，则CF=9-x， 在 Rt△DCF 中，CF2+CD2=DF2， 即（9-x）2+32=x2， 解得x=5，故DF的长是5. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 变式3 绿卡图书—走向成功的通行证 $$