练案69 选修4-5 第二讲 不等式的证明与柯西不等式-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习提能训练

练案[69] 第二讲 不等式的证明与柯西不等式 1.(2023·吉林长春模拟)已知a>0,b>0,a+b=4 3.(2023·河南开封模拟)已知xy为正实数，且满足x (1)求证：√+≥22： +y=1. （2求证≥+号 (1)若xy≤m恒成立，求m的最小值： 2)证明e++(+≥受 2.(2023·河南质检)已知正实数a,b,c满足ab+c+ac 4.(2023·宁夏石嘴山模拟)已知函数f(x)=12x-31+ =abc. 12x+31, (1)证明：a+b+c≥9： (1)解不等式f(x)≤8： （2)证明+后+号≥1 (2)设x∈R时，f(x)的最小值为M.若实数a,b,c满 足a+b+2c=M,求a2+b+c2的最小值. 415- 5.(2023·吉林长春模拟预测)设函数f(x）=12x-117.(2023·河南安阳模拟)已知函数f八x)=1x-11+12x- +2x+11. 41. (1)求不等式(x)<3的解集： (1)求不等式(x)≤2的解集： (2)设a,b是两个正实数，若函数(x)的最小值为m, (2)设x)的最小值为k,若m+2=k(m>0,n>0), 且a+2b=m.证明：√a+√2b≤2. 证明：m+上≤6 n 2 6.已知关于x的不等式x+al<b的解集为x4<x< 6. 8.(2022·四川泸州高三期末)已知函数x)=x-7 (1)求实数a,b的值： g(x)=2x-4. (2)求√at+10+√m的最大值. (1)若x)+g(x)1=f(x)1+Ig(x)1,求x的取值 范围： (2)若12fx)1+1g(x)1的最小值为m,且正实数a,b. 6,满足a+26-m=-36,证明e+6子。三3 416-[变式训练1] 11 1 3 [证明](1)①：2+b2≥2ab,+c2≥2bc,c2+a2≥2ae 六+F++ac≥】 .2a2+2b2+2c2≥2(ab+be+m. 3 即a2+b2+e2≥ab+b+cm. +abc≥2√d·ac=25. .(a+b+c)223(ab+be+ca). 当且仅当albe=3时取第号： h+bc+m=1,∴(a+6+c)2≥3， a、b,e是正数，.a+b+e≥5. 2.a+b=1,且a、b是正数. 些且仅当a=b=c=3右时取等号. 6,8 例4.[解析](1)①.x+y+z=1, 2≤ 2 由树西不等式得[(x-1)2+(y+1)2+(:+1)2]·(12+12+12)≥ 2 (当且仅当a+子=6+宁=l,即a=b=号时取等号) [(x-1)+(y+1)+(:+1)12=(x+y+2+1)2=4, ÷-2+r12+e+12≥分 0+++2 当且仅当x-1=y+1=:+1, 另解：a+b=1,由柯西不等式得 即=号=号时，等号成立， (+◆j≤1+[(+小(+月 (x-12+(G+12+(+1)2药兼小值为号 -2(a+6+1)=4.(当且仅当a=6=号时取等号) ②证明：[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2](12+12+12) ≥[(x-2）+(y-1)+(:-a)]2=(a+2)3 √a++√b+2 (x-22+y-1)2+(:-a)2≥a+22 (2)①由已知， (2,x≥1. 与22时等号我立 当且仅当x=44, 3 令八x)=1x+11-1x-11= 2x,-1<x<1. （-2.x≤-1. 六（红-22+(0y-1)2+(:-)2的最本值为0+2兰 3 由八x)1<2得A={xl-1<x<I{. ②要证明-a1,只需证1-bcl>ld-c, 由题设a2少≥分岸a≤-3成0≥- ab-c (2)①：a,b,c都是正数，且a+b+c=1, 只需证1+a222>a22+c2,只需证1-a22>2(1-m22), .b+c=1-a>0, 只爵证(1-a22)(1-2)>0,因为a,6,ceA,所以(1-m22)(1-2)> 0恒成立。 +4e=+。=a+1-1(日+a) 41 故监>1 51252g。9 例2.[证明]s>√1×T+√2×2+√3×3+…+√n×n=1+2+3+… 当且仅当。。即a了时等号。 +n=2n(n+1), 生2,2岁2+49 即。4的最小植为9 2 ②证明：由柯西不等式得[(1-a)+(1-b)+(1-)](1+1+1)≥ =3+547++(2m+01=宁(a+2 (个-a+个-b+T-)2 仰6≥(1-a+V-b+个-e)2, a(a+0<<分aa+2 故不等式个-+√个-石+√-e≤w6成立， [变式调练2] [证明]当Ia+b1=0时，不等式显然成立 当且仅当a=60=子时等号底立 当1a+b!00时， 变式训练4] 由0<a+b1≤al+b1→1a+产1a1+16 1 [解析](1)当x≥1时(x)=4灯-1 所以原不