练案57 第八章 高考大题规范解答系列（五）解析几何-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习提能训练

练案[５７] 高考大题规范解答系列(五)———解析几何 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. (２０２２􀅰安徽滁州二模)在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ抛 物线 Ｅ:ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)的焦点为 ＦꎬＭ 为 Ｅ 上一点ꎬＭＦ 与 ｘ 轴垂直ꎬ且 ｜ＯＭ ｜ ＝ ２ ５ . (１)求抛物线 Ｅ 的标准方程ꎻ (２)过 Ｆ 点的直线交抛物线 Ｅ 于 ＡꎬＢ 两点ꎬ点 ＡꎬＢ 在 准线上的射影分别是 Ａ１ꎬ Ｂ１ꎬ求证: ｜ Ａ１Ｂ１ ｜ ２ ＝ ４ ｜ＡＦ ｜􀅰 ｜ＢＦ ｜ . ２. (２０２２􀅰江苏海门高三期末)在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ设双曲线 Ｃ:ｘ ２ ａ２ － ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)的右准线 ｘ ＝ ５ ５ 准线方程为ｘ ＝ ± ａ２ ｃ æ è ç ö ø ÷与其两条渐近线的交点分别 为 Ａ、Ｂꎬ且 ｔａｎ∠ＡＯＢ ＝ － ４３ . (１)求双曲线 Ｃ 的方程ꎻ (２)设动直线 ｌ 与双曲线 Ｃ 相交于点 Ｍ、Ｎꎬ若 ＯＭ⊥ ＯＮꎬ求证:存在定圆与直线 ｌ 相切ꎬ并求该定圆的 方程. ３. (２０２２􀅰山西省模拟题)已知抛物线 Ｃ:ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０) 的焦点 Ｆꎬ若平面上一点 Ａ(２ꎬ３)到焦点 Ｆ 与到准线 ｌ: ｘ ＝ － ｐ２ 的距离之和等于 ７. (１)求抛物线 Ｃ 的方程ꎻ (２)又已知点 Ｐ 为抛物线 Ｃ 上任一点ꎬ直线 ＰＡ 交抛物 线 Ｃ 于另一点 Ｍꎬ过 Ｍ 作斜率为 ｋ ＝ ４３ 的直线 ＭＮ 交抛物线 Ｃ 于另一点 Ｎꎬ连接 ＰＮ. 问直线 ＰＮ 是否 过定点ꎬ如果经过定点ꎬ则求出该定点ꎬ否则说明 理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —６７３— ４. (２０２３􀅰辽宁省月考)设抛物线 Ｅ:ｙ２ ＝ ２ｐｘ(ｐ > ０)上的 点 Ｍ(ｘ０ꎬ４)到焦点 Ｆ 的距离 ｜ＭＦ ｜ ＝ ５ ４ ｘ０ . (１)求抛物线 Ｅ 的方程ꎻ (２)如图ꎬ直线 ｌ:ｙ ＝ ｋ(ｘ ＋ ２)与抛物线 Ｅ 交于 ＡꎬＢ 两 点ꎬ点 Ａ 关于 ｘ 轴的对称点是 Ｃꎬ求证:直线 ＢＣ 恒 过一定点. ５. (２０２３􀅰山东烟台一模)已知椭圆 Ｃ:ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ > ０)的离心率为 ３２ ꎬ依次连接 Ｃ 四个顶点所得菱形的 面积为 ４. (１)求椭圆 Ｃ 的标准方程ꎻ (２)若 Ａ( － ２ꎬ０)ꎬ直线 ｌ:ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｍ 与 Ｃ 交于 ＰꎬＱ 两 点ꎬ且 ＡＰ⊥ＡＱꎬ试判断直线 ｌ 是否过定点? 若是ꎬ 求出此定点的坐标ꎻ若不是ꎬ说明理由. ６. (２０２３􀅰山东日照一模)已知椭圆 Ｅ:ｘ ２ ａ２ ＋ ｙ ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ｂ >０)的左、右焦点分别为 Ｆ１ꎬＦ２ꎬ离心率 ｅ ＝ ２ ２ ꎬＰ 为椭 圆上一动点ꎬ△ＰＦ１Ｆ２ 面积的最大值为 ２. (１)求椭圆 Ｅ 的方程ꎻ (２)若 ＣꎬＤ 分别是椭圆 Ｅ 长轴的左、右端点ꎬ动点 Ｍ 满足 ＭＤ⊥ＣＤꎬ连接 ＣＭ 交椭圆于点 ＮꎬＯ 为坐标 原点. 证明:ＯＭ→􀅰ＯＮ→为定值ꎻ (３)平面内到两定点距离之比是常数 λ(λ≠１)的点的 轨迹是圆. 椭圆 Ｅ 的短轴上端点为 Ａꎬ点 Ｑ 在圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ８ 上ꎬ求２ ｜ＱＡ ｜ ＋ ｜ＱＰ ｜ － ｜ＰＦ２ ｜的最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —７７３— ７. (２０２２􀅰安徽宣城二模)已知椭圆方程为