练案46 第七章 高考大题规范解答系列（四）立体几何-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习提能训练

练案[４６] 高考大题规范解答系列(四)———立体几何 １. (２０２３􀅰四川乐山调研)如图ꎬ边长为 ４ 的正方形 ＡＢ￣ ＣＤ 中ꎬ点 Ｅ 是 ＡＢ 的中点ꎬ点 Ｆ 是 ＢＣ 的中点ꎬ将 △ＡＥＤꎬ△ＤＣＦ 分别沿 ＤＥꎬＤＦ 折起ꎬ使 ＡꎬＣ 两点重合 于点 Ａ′. (１)求证:Ａ′Ｄ⊥ＥＦꎻ (２)求三棱锥 Ａ′ － ＥＢＦ 的体积. ２. (２０２３􀅰上海市实验学校高三阶段练习)如图①ꎬ在棱 长为 ２ 的正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ꎬ设 Ｅ 是 ＣＣ１ 的 中点. (１)过点 Ａ、Ｃ 且与平面 ＢＤ１Ｅ 平行的平面 α 与此正方 体的面相交ꎬ交线围成一个三角形ꎬ在图②中画出 这个三角形(说明画法和理由)ꎻ (２)求四棱锥 Ｅ － ＡＢＣ１Ｄ１ 的体积. ３. (２０２２􀅰江西宜春模拟预测)如图ꎬ四边形 ＡＢＣＤ 是一 个半圆柱的轴截面ꎬＥꎬＦ 分别是弧 ＤＣꎬＡＢ 上的一点ꎬ ＥＦ∥ＡＤꎬ点 Ｈ 为线段 ＡＤ 的中点ꎬ且 ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ４ꎬ ∠ＦＡＢ ＝ ３０°ꎬ点 Ｇ 为线段 ＣＥ 上一动点. (１)试确定点 Ｇ 的位置ꎬ使 ＤＧ∥平面 ＣＦＨꎬ并给予 证明ꎻ (２)求三棱锥 Ｅ － ＣＦＨ 的体积. ４. (２０２３􀅰湖北省高三联考)如图ꎬ已知 ＡＢＣＤ 和 ＣＤＥＦ 都是直角梯形ꎬＡＢ∥ＤＣꎬＤＣ∥ＥＦꎬＡＢ ＝ ５ꎬＤＣ ＝ ３ꎬＥＦ ＝ １ꎬ∠ＢＡＤ ＝∠ＣＤＥ ＝ ６０°ꎬ二面角 Ｆ － ＤＣ － Ｂ 的平面 角为 ６０°. 设 ＭꎬＮ 分别为 ＡＥꎬＢＣ 的中点. (１)求证:ＦＮ⊥平面 ＡＢＣＤꎻ (２)求直线 ＢＤ 与平面 ＤＣＦＥ 所成角的正弦值ꎻ (３)求点 Ｄ 到平面 ＡＢＦＥ 的距离. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —２５３— ５. (２０２３􀅰四川宜宾诊断)如图ꎬ在四棱锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中ꎬ 四边形 ＡＢＣＤ 是直角梯形ꎬ且 ＡＤ⊥ＤＣꎬＡＤ∥ＢＣꎬＰＤ⊥ 平面ＡＢＣＤꎬＡＤ ＝ ４ꎬＢＣ ＝ ＣＤ ＝ ２ꎬ点 Ｅ 为线段 ＰＡ 的靠 近点 Ｐ 的三等分点. (１)求证:ＰＣ∥平面 ＢＤＥꎻ (２)若异面直线 ＰＡ 与 ＢＣ 所成的角为 ４５°ꎬ求多面体 ＢＣＤＥＰ的体积. ６. (２０２３􀅰河南商丘、新乡联考)在四棱锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中ꎬ ＰＡ⊥平面 ＡＢＣＤꎬ ＡＣ ＝ ２ＡＢ ＝ ２ＡＤꎬ∠ＡＤＣ ＝ ∠ＡＢＣ ＝ ９０°. (１)证明:平面 ＰＢＤ⊥平面 ＰＡＣꎻ (２)若 Ｆ 是 ＰＣ 的中点ꎬ求证:ＢＦ∥平面 ＰＡＤ. ７. ( ２０２２ 􀅰山东烟台高三期末) 如图ꎬ 在正三棱锥 Ｐ － ＡＢＣ 中ꎬ有一半径为 １ 的半球ꎬ其底面圆 Ｏ 与正三 棱锥的底面贴合ꎬ正三棱锥的三个侧面都和半球相 切. 设点 Ｄ 为 ＢＣ 的中点ꎬ∠ＡＤＰ ＝ α. (１)用 α 分别表示线段 ＢＣ 和 ＰＤ 长度ꎻ (２)当 α∈ ０ꎬπ２ æ è ç ö ø ÷时ꎬ求三棱锥的侧面积 Ｓ 的最小值. ８. (２０２３􀅰江西萍乡模拟)在如图所示的空间几何体中ꎬ 两等边三角形△ＡＣＤ 与△ＡＢＣ 互相垂直ꎬＡＣ ＝ ＢＥ ＝ ４ꎬ ＢＥ 和平面 ＡＢＣ 所成的角为 ６０°ꎬ且点 Ｅ 在平面 ＡＢＣ 上的射影落在∠ＡＢＣ 的平分线上. (１)求证:ＤＥ∥平面 ＡＢＣꎻ (２)求点 Ｂ 到平面 ＡＤＥ 的距离. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —３５３— Ｂ 组能力提升 １. Ａ　 因为 ｍꎬｎ 为异面直线ꎬ且 ｍ∥αꎬｎ