2023-2024年成都市八年级上数学期末复习专项练习：一次函数与等腰三角形的存在性问题（基础）

2023-2024年成都市八年级上数学期末复习专项练习： 一次函数与等腰三角形的存在性问题（基础） 一、解答题 1．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC的长； （3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标． 2．如图，直线：，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D． (1)求点A和点B的坐标； (2)点P在直线上运动，且始终在直线下方，当的面积为时，求出点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使是以为腰的等腰三角形的点Q的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点B（m，6），过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，C，∠AOB＝30°．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发．以每秒个单位长度的速度向点C运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)求m与k的值； (2)设△PQB的面积为S，求S与t的关系式； (3)若以点P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值．（温擎提示：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半） 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值与一次函数解析式； (2)在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在直线上，过点P的直线交x轴于点． （1）求的面积； （2）求直线的解析式； （3）以PA为腰作等腰直角，请直接写出满足条件的点Q的坐标 6．如图，直线：与轴交于点，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线与直线相交于点，且． （1）分别求出直线和直线解析式； （2）求四边形的面积； （3）若为轴上一点，且为等腰三角形，请求出点的坐标． 7．如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且． （1）分别求出直线和直线解析式． （2）求四边形的面积． （3）若E为y轴上一点，且为等腰三角形，请求出点E的坐标． 8．如图，直线l₁：y＝x+2与直线l₂：y＝kx+b相交于点P（1，m） （1）写出k、b满足的关系； （2）如果直线l₂：y＝kx+b与两坐标轴围成一等腰直角三角形，试求直线l₂的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设直线l₂与x轴相交于点A，点Q是x轴上一动点，求当△APQ是等腰三角形时的Q点的坐标． 9．如图，直角坐标系中，一次函数的图像分别与、轴交于两点，正比例函数的图像与交于点． （1）求的值及的解析式； （2）求的值； （3）在坐标轴上找一点，使以为腰的为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$2023-2024年成都市八年级上数学期末复习专项练习： 一次函数与等腰三角形的存在性问题（基础） 一、解答题 1．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC的长； （3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标． 【答案】（1）；（2）AC=5；（3）当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【分析】（1）把A、B坐标代入一次函数解析式中求解即可； （2）先利用勾股定理求出，由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°，设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m，由，可得，由此求解即可； （3）分当AP=AB=10时，当AB=PB时，当AP=BP时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）∵A（-8，0），B（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴， 由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°， ∴∠CDA=90°，AD=AB-BD=4， 设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m， ∵， ∴， 解得， ∴AC=5； （3）如图3-1所示，当AP=AB=10时， ∵A点坐标为（-8，0）， ∴P点坐标为（2，0）或（-