精品解析：四川省成都市实验外国语学校2023-2024学年八年级上学期数学期末试题

成都市实验外国语学校2023-2024学年上期期末考试 八年级数学学科试题 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） A卷（共100分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题只有一个正确答案） 1. 3的平方根是（ ） A. 9 B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，， D. 3. 已知，下列变形中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据4，4，5，5，x，6，7的平均数是5，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A 4，5 B. 4，4 C. 5，4 D. 5，5 5. 如图，点F是∠ACE内一点，FDAC，FBEC，点D在射线CE上，点B在射线CA上．下列结论正确是（ ） ①∠1=∠F；②∠2=∠C；③∠FBC=∠FDC；④∠FBC+∠2 =180° A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 6. 在平面直角坐标系中，点在轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 7. 学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是，求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 8. 某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则 y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 10. 在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是________． 11. 一次函数y=kx－3的图象经过点（-1，3），则k=______． 12. 《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？(1丈＝10尺)答：原处的竹子还有_____尺高． 13. 下面是某同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图2 ①在直线l外取一点A，作射线与直线l交于点B， ②以A为圆心，为半径画弧与直线l交于点C，连接， ③以A为圆心，为半径画弧与线段交于点Q． 则直线即为所求．根据某同学设计的尺规作图过程，写出在作图过程中，应用到的数学原理：______． 三、解答题（本大题共5个题，共48分） 14. （1）计算： （2） （3）解方程组： （4）不等式 （5）解下列方程组： （6）解不等式组： 15. 已知，，求代数式的值： （1）； （2） ． 16. 已知关于x，y方程组的解为 （1）求a，b的值； （2）求的值． 17. 某校八年级全体同学参加了爱心捐款活动，该校随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示： （1）求出本次抽查的学生人数； （2）求出捐款10元的学生人数，并将条形统计图补充完整： （3）请估计全校八年级1000名学生，捐款20元有多少人? 18. 在平面直角坐标系中，点，点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． （1）用t 表示点C的坐标为 ；用t表示点B 到y轴的距离为 ． （2）若时，平移线段，使点A、B到坐标轴上点、处，指出平移的方向和距离，并求出点、的坐标； （3）若时，如图，平移线段至（点A与点M对应），使点M落在x轴的负半轴上，的面积为4，试求点M、N的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 比较大小：7__________（填“>”，“<”或“=”） 20. 已知一组数据，，，，的方差是1，则另一组数据，，，，的方差是______． 21. 当时，代数式的值是______． 22. 已知点A在直线上，点A横坐标为2，点P 在x轴上，使是等腰三角形则P的坐标为______． 23. 如图，在中，，现操作如下：将边绕点C顺时针旋转为，将边绕点C 逆时针旋转为，过点C 作于H，延长至E使，延长与交于F． 若，，则的面积是______． 二、解答题（共30分） 24. 为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？ 25. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． （1）求点A，B的坐标： （2）设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； （3）在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 26. 【知识背景】 勾股定理的内容是：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．在中，，则三边的数量关系满足 ； 【提出问题】 某学生在学习了勾股定理之后提出：锐角三角形有没有类似于勾股定理的结论．首先定义一个新的概念：如图1，锐角中，M是的中点，N是线段上的点，设，若，，则称k为勾股比． 【解决问题】 （1）如图2，若，，，当勾股比时，求与的数量关系． （2）如图3，在锐角中，M是的中点，N是线段上的点，过点B、C作的垂线，垂足分别为P、Q， ①求证：； ②若，时，用勾股比k的代数式填空：（ ）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都市实验外国语学校2023-2024学年上期期末考试 八年级数学学科试题 （全卷总分：150分 考试时间：120分钟） A卷（共100分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题只有一个正确答案） 1. 3的平方根是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据平方根的概念即可求解． 【详解】∵ ∴3的平方根是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是直角三角形的判定，掌握用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故符合题意； D、，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 3. 已知，下列变形中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：， ，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； 如时，满足，但，故选项D错误 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 4. 一组数据4，4，5，5，x，6，7的平均数是5，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 4，5 B. 4，4 C. 5，4 D. 5，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数、平均数与中位数；根据平均数求出x，即可求得众数与中位数． 【详解】解：由于一组数据4，4，5，5，x，6，7的平均数是5， ∴， 解得：， 即这组数据为：4，4，5，5，4，6，7，显然4出现的次数最多，即众数为4； 把这组数据按大小排列得：4，4，4，5，5，6，7，处于中间位置的数是5，即中位数为5； 故选：A． 5. 如图，点F是∠ACE内一点，FDAC，FBEC，点D在射线CE上，点B在射线CA上．下列结论正确的是（ ） ①∠1=∠F；②∠2=∠C；③∠FBC=∠FDC；④∠FBC+∠2 =180° A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由FDAC，可推出：∠1=∠F，∠2=∠C；由FB∥EC，可得∠1=∠C，∠FBC+∠C =180° 从而有∠1=∠2，再由∠2+∠FDC=180°，可得∠FBC=∠FDC，于是可作出判断． 【详解】∵FDAC ∴∠1=∠F，∠2=∠C 即①②正确 ∵FB∥EC ∴∠1=∠C，∠FBC+∠C =180° ∴∠1=∠2，∠FBC+∠2=180° 即④正确 ∵∠2+∠FDC=180°，∠1+∠FBC=180° ∴∠FBC=∠FDC 即③正确 所以正确的结论为：①②③④ 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质并灵活应用是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，点在轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点坐标的意义求解即可． 【详解】∵点在轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度， ∴点的横坐标为0，纵坐标为2， 即：点坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标问题，理解在轴上的点的横坐标为0是解题关键 7. 学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是，求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可直接进行排除选项． 【详解】解：设篮球有x个，排球有y个，根据题意得： ， 故选D． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 8. 某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则 y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式．找到正确的等量关系是解题关键．计算出每的耗油量即可求解． 【详解】解：由题意得： 每耗油量为：， 故汽车加满油后最多可行驶： 故可得： 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数非负；根据被开方数非负即可求得x的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 则； 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是________． 【答案】（−2，5） 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：∵点A（2，5）与点B关于y轴对称， ∴点B的坐标为（−2，5）． 故答案为：（−2，5）． 【点睛】本题考查了轴对称与坐标变化，解决本题的关键是掌握关于坐标轴对称点的坐标规律． 11. 一次函数y=kx－3的图象经过点（-1，3），则k=______． 【答案】-6 【解析】 【详解】解：把点代入得， 解得 ． 故答案为: ． 12. 《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？(1丈＝10尺)答：原处的竹子还有_____尺高． 【答案】 【解析】 【分析】首先理解题目含义，将竹子的形状转化为直角三角形，三边都表示出即可用勾股定理解题 【详解】根据题意可设原处还有x尺的竹子，这样折断部分的长度可以求得为（10-x）；根据题意可列出方程x2+32=(10-x)2,解得x= 故本题答案为 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是将实际问题转换为直角三角形 13. 下面是某同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图2 ①在直线l外取一点A，作射线与直线l交于点B， ②以A为圆心，为半径画弧与直线l交于点C，连接， ③以A为圆心，为半径画弧与线段交于点Q． 则直线即为所求．根据某同学设计的尺规作图过程，写出在作图过程中，应用到的数学原理：______． 【答案】等边对等角与同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线判定的方法，理解作图过程是解题的关键． 由作图可得，，根据等边对等角得到，，再由三角形的内角和定理得到，即可根据平行线的判定证得． 【详解】解：由作图可得，， ∴，，（等边对等角） ∵， ，（三角形的内角和定理） ∴， ∴．（同位角相等，两直线平行） ∴在作图中运用的数学原理是：等边对等角与同位角相等，两直线平行． 故答案为：等边对等角与同位角相等，两直线平行 三、解答题（本大题共5个题，共48分） 14. （1）计算： （2） （3）解方程组： （4）不等式 （5）解下列方程组： （6）解不等式组： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解二元一次方程组，一元一次不等式和不等式组，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键． （1）分别计算立方根，二次根式的乘法，和化简绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算绝对值，二次根式的除法，零指数幂和负整数指数幂，最后再进行加减计算； （3）利用加减消元法求解； （4）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化1，解不等式； （5）利用代入消元法求解； （6）先分别求每一个不等式的解集，再取公共部分作为不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （4）解： 解得：， ∴原不等式的解集为：； （5）解：， 将①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； （6）解： 解①得：， 解②得：， ∴原不等式组解集为：． 15. 已知，，求代数式的值： （1）； （2） ． 【答案】（1）16 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，注意整体思想的运用； （1）先分别计算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可； （2）原式化为，再整体代入即可． 【小问1详解】 解：∵，； ∴； 【小问2详解】 解：． 16. 已知关于x，y的方程组的解为 （1）求a，b的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求算术平方根等知识；正确求解二元一次方程组是解题的关键； （1）把代入二元一次方程组中，得到关于a、b的方程组，解方程组即可求得a、b； （2）把a、b的值代入中，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是关于x，y的方程组的解， ∴， 解得：， 即； 【小问2详解】 解：当时，． 17. 某校八年级全体同学参加了爱心捐款活动，该校随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示： （1）求出本次抽查的学生人数； （2）求出捐款10元学生人数，并将条形统计图补充完整： （3）请估计全校八年级1000名学生，捐款20元的有多少人? 【答案】（1）50人 （2）捐款10元的学生有16人，补充的统计图见解析 （3）140人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，画条形统计图，用样本估计总体数量等知识，从统计图中获取有用的信息是解题的关键． （1）根据捐款15元的人数及其占比，即可求得抽查的总数； （2）由（1）中求得的总人数减去已捐款的人数，即可求出捐款10元的学生人数，从而补充条形统计图； （3）捐款20元的占比与总人数的乘积即可求解． 【小问1详解】 解：（人）； 即抽查的总人数为50人； 【小问2详解】 解：（人）， 补充的条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 即估计全校八年级1000名学生，捐款20元的有140人． 18. 在平面直角坐标系中，点，点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． （1）用t 表示点C的坐标为 ；用t表示点B 到y轴的距离为 ． （2）若时，平移线段，使点A、B到坐标轴上的点、处，指出平移的方向和距离，并求出点、的坐标； （3）若时，如图，平移线段至（点A与点M对应），使点M落在x轴的负半轴上，的面积为4，试求点M、N的坐标． 【答案】（1）； （2）向左平移2个单位，再向下平移2个单位，可得点，或向左平移4个单位，再向下平移3个单位，可得点， （3）， 【解析】 【分析】考查了坐标与图形性质、平移的性质、三角形面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质得出点C的坐标，由点B的横坐标的绝对值即可得出点B到y轴的距离点B 到y轴的距离； （2）分两种情况分别讨论：①点在y轴上，点在x轴上；②点在x轴上，点在y轴上，由平移的性质即可解答； （3）设，由围矩法求出，得出，由平移的性质即可得出点N的坐标． 【小问1详解】 解：∵点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． ∴点C的横坐标为，纵坐标为， ∴． 点到y轴的距离为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：当，点，点， 分两种情况讨论： ①如图， 点A、点B同时向左平移2个单位，再向下平移2个单位，可得点，； ②如图， 点A、点B同时向左平移4个单位，再向下平移3个单位，可得点，． 【小问3详解】 解：当时，，， 过A作y轴的垂线，过M作x轴的垂线、过B作x轴的垂线，交x轴于G，交前面垂线点P、Q，如图所示： 设， ∴，，，，， ∵， ∴ 解得：， ∴， ∵点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到M， ∴点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到N， ∴点． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 比较大小：7__________（填“>”，“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了实数的比较大小，由，，得到，即可解答． 【详解】解：∵，，而， ∴， ∴． 故答案为：> ． 20. 已知一组数据，，，，的方差是1，则另一组数据，，，，的方差是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的计算公式，解题的关键是熟练掌握（其中a为平均数）．根据方差的计算公式进行解答即可． 【详解】解：设的平均数为a， ∵ 的方差是1， ∴， ∵的平均数为a， ∴的平均数为， ∴ ． 故答案为：1． 21. 当时，代数式的值是______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，运用配方法是解题的关键．本题也可以直接代入，但使用配方法更为简便． 先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：2024． 22. 已知点A在直线上，点A横坐标为2，点P 在x轴上，使是等腰三角形则P的坐标为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，两点间距离公式，和正比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出，设，则，再分类讨论，解方程即可． 【详解】解：由题意得，把代入得， ∴， 设， ∴， 当，则，∴， 解得：或（舍）， ∴； 当，则，∴, 解得：， ∴； 当，即，∴， 解得：， ∴或， 综上所述：是等腰三角形，P的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 23. 如图，在中，，现操作如下：将边绕点C顺时针旋转为，将边绕点C 逆时针旋转为，过点C 作于H，延长至E使，延长与交于F． 若，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，难度较大，正确构造全等三角形是解决问题的关键． 过点作交延长线于点M，过点作于点N，则可证明，，，那么，则，在中，，求得，而均为等腰直角三角形，则，故，则，继而，则的面积即可求解． 【详解】解：过点作交延长线于点M，过点作于点N，则 由旋转得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题（共30分） 24. 为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？ 【答案】（1）购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元 （2）三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）等量关系式：购买A型公交车1辆的费用购买B型公交车2辆的费用400万元，购买A型公交车2辆的费用B型公交车1辆的费用共需350万元；据此列出方程组，即可求解； （2）不等关系式：购买A型公交车的费用购买B型公交车的费用1200万元，A型公交车的载客量B型公交车的载客量680万人次；据此列出不等式组，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元， 由题意得， 解得， 答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元． 【小问2详解】 解：设购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆， 由题意得， 解得：， 因为a是整数， 所以取、、； 则取、、． 三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆． 25. 如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． （1）求点A，B坐标： （2）设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； （3）在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】（1） （2） （3）长方形周长的最大值为22 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的图象与性质等知识，注意分类讨论思想的运用． （1）在中，分别令，相应地可求得的值，从而得到A、B的坐标； （2）求出直线的解析式，由题意知，则，由为定值，即可求得t的值； （3）分与两种情况考虑，利用一次函数的图象与性质即可求解． 【小问1详解】 解：在中，令，则；令，即，得， ∴； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 则有， ∴， 即直线的解析式为； 设，则； ∵轴， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， ∴； 【小问3详解】 解：当时， 由（2）知，，，此时， 则长方形周长为； 当时， ∵， 设直线解析式为， 把B、C两个坐标代入得， 解得：， 即直线解析式为， 则； ∴长方形周长为，其中， ∵， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∴当时，长方形周长有最大值22； 综上，长方形周长的最大值为22． 26. 【知识背景】 勾股定理的内容是：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．在中，，则三边的数量关系满足 ； 【提出问题】 某学生在学习了勾股定理之后提出：锐角三角形有没有类似于勾股定理的结论．首先定义一个新的概念：如图1，锐角中，M是的中点，N是线段上的点，设，若，，则称k为勾股比． 【解决问题】 （1）如图2，若，，，当勾股比时，求与的数量关系． （2）如图3，在锐角中，M是的中点，N是线段上的点，过点B、C作的垂线，垂足分别为P、Q， ①求证：； ②若，时，用勾股比k的代数式填空：（ ）． 【答案】【知识背景】； 【解决问题】（1）（2）①见解析；②； 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理的内容并正确运用是解题的关键． 【知识背景】由勾股定理即可得：； 【解决问题】 （1）由等腰三角形的性质得，设，得，，；在中，，则得，即可求得与的关系； （2）①证明，即可求解； ②由勾股比设，得，，；在与中，分别由勾股定理得，，两式相加，再利用勾股定理即可求得与的关系． 【详解】解：【知识背景】由勾股定理得：； 故答案为：； 【解决问题】 （1）解：∵是的中点， ∴； 设，由，得， ∴； ∵， ∴，； 在中，， ∴， 即， ∴； （2）①证明：∵， ∴； ∵M是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴； ②解：由勾股比设，得， ∴； ∵是的中点，， ∴； 在中，由勾股定理得：①， 与中，由勾股定理得：②， ∵， ∴， 得，； 在中，由勾股定理得：， ∴ ； ∵， ∴， ∴ 即． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$