2023-2024年成都市八年级上数学期末复习专项练习：几何综合等腰直角三角形（偏难）

2023-2024年成都市八年级上数学期末复习专项练习： 几何综合等腰直角三角形（偏难） 一、解答题 1．如图，在中，，，点为中点，连接，点在线段上，连接，与交于点，过点作的垂线，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 2．【基础巩固】 （1）如图1，点E在线段上，，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，，若E是的中点，，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，，，E是的中点，，，求的长． 3．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一动点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE=AB，连接CE． (1)若∠AED＝20°，则∠DEC＝　 　度； (2)若∠AED＝α，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想； (3)如图2，延长EC到点H，连接BH2+CH2＝2AE2，连接AH与BE交于F，试探究BE与FH的关系． 4．如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，点E在AC边上． （1）如图1，连接BE，若AE＝3，BE＝，求FC的长度； （2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC交于点M，N，当△CMN是等腰三角形时，求旋转角α的度数； （3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B，E，F在同一条直线上，点P为BF的中点，连接AE，猜想AE，CF和BP之间的数量关系并说明理由． 5．【背景】在△ABC中，分别以边AB、AC为底，向△ABC外侧作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°． 【研究】点M为BC的中点，连接DM，EM，研究线段DM与EM的位置关系与数量关系． （1）如图（1），当∠BAC＝90°时，延长EM到点F，使得MF＝ME，连接BF．此时易证△EMC≌△FMB，D、B、F三点在一条直线上．进一步分析可以得到△DEF是等腰直角三角形，因此得到线段DM与EM的位置关系是　 　，数量关系是　 　； （2）如图（2），当∠BAC≠90°时，请继续探究线段DM与EM的位置关系与数量关系，并证明你的结论； （3）【应用】如图（3），当点C，B，D在同一直线上时，连接DE，若AB＝2，AC＝4，求DE的长． 6．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，连接DE． （1）如图1，当点E在边BC上时，过点D作DF⊥DE交AC于点F． （ⅰ）求证：CE＝AF； （ⅱ）试探究线段AF，DE，BE之间满足的数量关系． （2）如图2，当点E在△BDC内部时，连接AE，若DB＝5，DE＝3，，求线段CE的长． 7．等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE． （1）如图1，连接BE，求证：AD＝BE． （2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足， ①求证：FD＝FB； ②如图3，若AE交BC于N，O为AB中点，连接OC，交AN于M，连FM、FN，当，求OF2+BF2的最小值． 8．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE． （1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝　 　度； （2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2． 9．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．过射线AD上一点M作BM的垂线，交直线AC于点N． （1）如图1，点M在AD上，若∠N＝15°，BC＝2，则线段AM的长为　 　； （2）如图2，点M在AD上，求证：BM＝NM； （3）若点M在AD的延长线上，则AB，AM，AN之间有何数量关系？直接写出你的结论，不证明． 10．如图，已知正方形ABCD，AB=8，点E是射线DC上一个动点(点E与点D不重合)，连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG． （1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG； （2）在（1）的条件下，若CE=2，求CG的长； （3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长． 11．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC． （1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF； （2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明； （