11.4 球（七大题型）（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

11.4球 分层练习 题型1：球的结构特征辨析 1．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是 . 2．下列命题中，真命题的是 ．（选填序号） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑤空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． 题型2：球的截面性质及计算 3．已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是 cm. 4．把地球视为一个球，如果地球半径增大米，那么地球赤道的长度会增大 （精确到米）． 5．如图，已知正三角形的三个顶点都在表面积为的球面上，球心到平面的距离为2，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 . 题型3：球面距离 6．在北纬45°圈上有、两点，若该纬度圈上、两点间的劣弧长为（为地球的半径），则、两点间的球面距离是 ． 7．已知地球半径为，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是 8．已知球是棱长为4的正方体的外接球，，分别是和的中点，则球截直线所得弦长为 ． 9．在半径为3的球面上有､､三点，，，球心到平面的距离是，则､两点的球面距离是 . 题型4：直线与球、平面与球的位置关系 10．图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为 . 11．水平桌面上放有4个半径均为1的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正力形).在这4个球的上面放1个半径为2的大球，它和下面4个球恰好都相切，则大球的球心到水平桌面的距离是___________. 12．很多数学问题都来自于生活.水果店为了方便顾客，常常会用保鲜膜将水果打包成下图（左）的形状，第一层有四个橘子（紧紧相贴），第二层有一个橘子，并且第二层的橘子和第一层的四个橘子也紧紧相贴.这其实可以抽象成一个数学问题，如下图所示（右），已知平面，第一层有四个球A，B，C，D(紧紧相贴）且这四个球都和平面相切，第二层的球E和第一层的四个球A，B，C，D都相切，点M是球E球面上的一个动点，球A，B，C，D，E的半径均为1，则点M到平面的距离的最大值是      题型5：球的体积 13．已知两球体积之比为27：1，它们的半径之比为 14．若球的体积是，则球的表面积是 . 15．一个平面截一个球得到面积为的圆面，球心到这个圆面的距离等于球半径的一半，则该球的体积等于 . 16．已知圆台上､下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为 . 题型6：球的表面积 17．已知球的体积为，则该球的表面积为 . 18．在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，则所得几何体的表面积为 ． 19．已知半球的半径为2，如图，截面圆平行于半球的底面的，以该截面圆为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积的最大值为 .    20．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，底面是边长为的正三角形，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为 ． 21．正多面体又称柏拉图多面体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成，正多面体共有五种，它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，连接棱长为2的正方体的六个面的中心，即可得到一个正八面体，则该正八面体的内切球的表面积为 . 题型7：球的切、接问题 22．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 . 23．三棱锥，平面，，，，（单位：cm）则三棱锥外接球的体积等于 ． 24．鳖臑（biē  nào）出自《九章算术·商功》，指的是四个面均为直角三角形的三棱锥，如图所示的鳖臑中，，，，且，，则其外接球体积的最小值为 .    25．一个棱长为的正四面体中内切一个球，若在此四面体中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球的半径为（    ） A． B． C． D． 26．如图，在边长为