第二章 小结与复习-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一同步课时教师用书word（人教A版2019）

第二章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、 主题归纳·综合提升 主题1　直线与圆的方程的探究及函数与方程思想的应用  例1 已知圆C经过两点,且在y轴上截得的线段的长为4,半径小于5. (1) 求圆C的方程; (2) 若直线,且与圆C交于点A,B,且以线段为直径的圆经过坐标原点,求直线的方程. 【思路点拨】(1) 运用直接法,根据题目的条件,求出圆心和半径,再代入圆的标准方程,即得所求圆的方程. (2) 由直线,可得直线的斜率,运用待定系数法,设直线的方程为,求出待定系数即可. 「解」 (1) 由题意易得直线的方程为.设圆心,半径为,易知线段的垂直平分线的方程是,即,所以 ①.由圆C在y轴上截得线段的长为4,知,得 ②,由①②得或.当时,,满足题意;当时,,不满足题意.故圆C的方程为.　(2) 设直线的方程为.由题意可知,,所以,化简得③.由得,所以,代入③,得,所以或,经检验都满足题意,所以直线的方程为或. 变式训练1 在平面直角坐标系中,已知圆心在直线上,圆C经过点,但不经过坐标原点,并且直线与圆C相交所得的弦长为4. (1) 求圆C的一般方程; (2) 若从点发出的光线经过x轴反射,反射光线刚好通过圆C的圆心,求反射光线所在直线的方程(用一般式表达). 「解」 (1) 设圆C:,因为圆心C在直线上,所以.又圆C经过点,所以.而圆心到直线的距离,易得,,从而可得或又经过坐标原点,所以舍去.故圆C的标准方程为,化为一般方程为. (2) 点关于x轴对称的点为,反射光线所在的直线即为所在的直线,又,所以反射光线所在直线的方程,所以反射光线所在直线的一般式方程为. 点评总结　(1) 求直线的方程一般有以下两种方法:① 直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程;② 待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.(2) 求圆的方程一般也有两种方法:① 直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程;② 待定系数法:一是选择圆的标准方程,求出的值;二是选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 待定系数法是求直线与圆的方程的最基本的方法也是最常用的方法,先用待定系数表示出直线或圆的方程,再根据题目条件列出关于待定系数的方程(组),解方程(组)求出待定系数的值. 设计意图　通过对本主题的探索与研究,使学生熟练掌握求直线和圆的方程的两种基本方法——直接法与待定系数法,学会根据题目的条件选择恰当的方法,注意通过对两种方法的运用,体会待定系数法的运用,感悟函数与方程的思想在数学解题中的应用,训练学生的理性思维,发展学生的数学抽象和数学运算等素养. 主题2　直线与圆的位置关系的探究及分类讨论思想的应用  例2 已知直线,半径为2的圆C与相切,圆心C在x轴上且在直线的右上方. (1) 求圆C的方程; (2) 过点的直线与圆C交于A,B两点(点A在x轴上方),问:在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 【思路点拨】(1) 已知圆C的半径为2,只要求出圆心的坐标,代入圆的标准方程即可.　(2) 就是否垂直于x轴分两种情形讨论:当直线垂直于x轴时,显然在x轴正半轴上存在定点N,使得x轴平分;当直线不垂直于x轴时,直线的方程可表示为,假设存在,由x轴平分的条件求出值,问题就迎刃而解了. 「解」 (1) 由题意可设圆心,,解得或(舍去),所以圆C的方程为.　(2) 分两种情况讨论:当直线垂直于x轴时,x轴平分;当直线不垂直于x轴时,则直线的斜率存在,设直线的方程为,由得,所以.若x轴平分,设直线的斜率分别为,则,,,整理得,,解得,所以当点N为时,能使得总成立,即x轴平分. 变式训练2 已知过点的动直线与圆相交于P,Q两点,M是的中点,与直线相交于点N,如图. (1) 求证:当直线与垂直时,直线必过圆心C; (2) 当时,求直线的方程; (3) 探是否与直线的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由. 变式训练2 「解」 (1) 证明:因为与垂直,且直线的斜率,所以直线的斜率.又直线的斜率,直线也过点A,所以当与垂直时,必过圆心C.　(2) 分两种情形讨论:当直线与x轴垂直时,易知,符合题意;当直线与x轴不垂直时,设直线的方程为,即.因为,所以,即,解得,所以直线.故所求直线的方程为或.　(3) 因为,所.以下分两种情形讨论: 当与x轴垂直时,易得,.,所;当与x轴不垂直时,的斜率存在,设直线的方程为,则由得点,所,所.综上所述与直线的倾斜角无关,. 点评总结　(1) 研究直线与圆的位置关系问题,常用的方法有两种:① 代数法:通过直线与圆的方程组成的方程组的解来研究;