1.3 空间向量及其运算的坐标表示-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一同步课时教师用书word（人教A版2019）

　1.3空间向量及其运算的坐标表示 课时4　空间直角坐标系  教学目标 1. 理解空间直角坐标系建立的背景,掌握空间点的坐标和空间向量的坐标的表示方法. 2. 经历空间直角坐标系的形成过程,感悟空间直角坐标系在确定空间方位时的作用. 3. 渗透类比、转化的数学思想,培养空间想象能力,发展数学运算和逻辑推理等素养. 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解空间直角坐标系的建立背景,掌握空间直角坐标系的建立方法 通过空间直角坐标系的建立,培养数学抽象与直观想象素养 学会用空间坐标的方法刻画空间点的位置以及表示空间向量 通过对空间中点与向量的坐标表示的研究,培养数学运算、逻辑推理素养 掌握空间直角坐标系和空间向量的坐标表示的简单应用 通过空间向量的坐标表示的简单应用,培养数学运算、数学抽象、逻辑推理素养 情景导学 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出了中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入.为使得几何问题“代数化”,我们引入了坐标系及其运算.对于平面几何的问题,我们通过建立平面直角坐标系使其“代数化”,那么,对于立体几何的问题,我们能通过建立空间直角坐标系的方法将其“代数化”吗?如何建立呢? 【提示】 能.我们可以类比平面直角坐标系的建立方法,建立空间直角坐标系,实现将立体几何问题“代数化”.本节课,我们就来研究这一问题. 设计意图　由著名数学家吴文俊先生的论述引出几何问题“代数化”的话题,引导学生类比建立平面直角坐标系的方法,思考构建空间向量坐标系实现立体几何问题“代数化”的方法,激发学生探究新知的兴趣,为新课的学习营造良好的氛围. 初探新知 任务1　类比平面直角坐标系的建立方法,探究空  间直角坐标系的构建 活动1　类比平面直角坐标系,探究空间直角坐标系的构建  问题1　类比平面直角坐标系,如何建立空间直角坐标系? 【提示】 我们知道,平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成.利用单位正交基底概念,我们还可以这样理解平面直角坐标系:在平面内选定一点和一个单位正交基底,以为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴:轴、轴,那么我们就建立了一个平面直角坐标系,如图1. 图1 类似地:在空间选定一点和一个单位正交基底,以为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系,如图2. 图2 问题2　像图2这样建立的空间直角坐标系有什么特点? 【提示】 在这样建立的空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,则中指指向轴的正方向,我们称这个坐标系为右手空间直角坐标系.本书建立的坐标系都是右手直角坐标系(图3). 图3 问题3　空间直角坐标系由哪些元素构成? 【提示】 坐标原点,坐标向量,坐标平面:平面,平面,平面,它们把空间分成八个部分. 问题4　如何画出空间直角坐标系? 【提示】 画空间直角坐标系时,一般使(或),. 设计意图　通过对上述问题的探索与研究,引导学生类比平面直角坐标系的建构,自主建构空间直角坐标系,使学生掌握空间直角坐标系的构建方法,为运用空间直角坐标系研究和解决立体几何问题奠定基础,使学生体会类比思想在数学学习中的价值,培养学生的空间想象能力,发展学生的直观想象与数学抽象素养. 任务2　探究用坐标表示空间的点和向量的方法  活动2　探究空间的点和向量的坐标表示  问题5　在平面直角坐标系中,每一个点可以用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么空间直角坐标系中的每一个点是否也有类似的表示呢? 【提示】 在空间直角坐标系中,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使.由此可知,点与有序实数组一一对应,因此,可以用表示空间点的位置. 问题6　给出空间任意一点,它的空间坐标是什么? 【提示】 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标(图4). 图4 问题7　在空间直角坐标系中,空间向量能用坐标表示吗?如何表示呢? 【提示】 在空间直角坐标系中,给定向量,作(图5),由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作. 图5 问题8　在空间直角坐标系中,对空间任意一点或向量,你能借助于几何直观确定它们的坐标吗? 【提示】 如图6,过点分别作垂直于轴、轴、轴的平面,依