第27章 专题13 相似三角形判定与性质的综合应用(习题课件)-【初中学霸创新题】2023-2024学年九年级下册数学(人教版)

第27章　相 似 专题13　相似三角形判定与性质的综合应用 目 录 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型1　利用相似三角形求线段长 典例1 （四川攀枝花中考）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4， 点E，F分别为BC，CD的中点，BF，DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ 　） A. B. 1 C. D. A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°. ∵点E，F分别为BC，CD的中点，∴DF=CF=DC=3，CE=BE=BC=2. ∵EH∥CD，BE=CE， ∴FH=BH，∴EH=CF=.由勾股定理，得BF==5，∴BH=FH=BF=. ∵EH∥CD，∴△EHG∽△DFG，∴=，∴=，解得GH=，故选A. 典例1 5 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式4 典例4 变式5 典例5 变式6 目 录 导 航 1.（安徽中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12， 点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G. 若EF=EG，则CD的长为 （　　） A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. 5 B 【解析】如图，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴=. ∵EF⊥AC，∠C=90°，∴∠EFA=∠C=90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC， ∴=，∴=.∵EG=EF，∴DH=CD. 设DH=x，则CD=x. ∵BC=12， ∴BD=12-x.∵EF⊥AC，EF⊥EG，AC∥EG，∴EG∥AC∥DH， ∴△BDH∽△BCA，∴=，即=，解得x=4，∴CD=4. 变式训练 典例1 5 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式4 典例4 变式5 典例5 变式6 目 录 导 航 典例2　如图，在△ABC中，AD⊥BC，且AD2=BD·CD，则∠BAC的度数为___________. 【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠CDA=90°， ∴∠C+∠CAD=90°. ∵AD2=BD·CD，∴=，∴△ADB∽△CDA， ∴∠BAD=∠C， ∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°. 90° 类型2　利用相似三角形求角的度数 典例1 5 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式4 典例4 变式5 典例5 变式6 目 录 导 航 2.（湖南怀化鹤城期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2=DB·CE. （1）求证：△ADB∽△EAC； （2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数. 解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE. ∵AB2=DB·CE，∴=，∵AB=AC，∴=，∴△ADB∽△EAC. （2）解：∵∠BAC=40°，AB=AC，∴∠ABC==70°， ∴∠D+∠BAD=∠ABC=70°.∵△ADB∽△EAC，∴∠D=∠CAE， ∴∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=∠BAD+∠D+∠BAC=70°+40°=110°. 变式训练 典例1 5 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式4 典例4 变式5 典例5 变式6 目 录 导 航 典例3 （贵州铜仁万山期末）如图，△ABC中，D，E分别是AB， AC上的点，且BD=2AD，CE=2AE. 求证： （1）△ADE∽△ABC；（2）DF·BF=EF·CF. 证明：（1）∵BD=2AD，CE=2AE，∴AB=3AD，AC=3AE，∴= = . 又∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC. （2）∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，∴DE∥BC， ∴△DEF∽△CBF，∴= ，∴DF·BF=EF·CF. 类型3　利用相似三角形证明等积式或比例式 典例1 5 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式4 典例4 变式5 典例5 变式6 目 录 导 航 3. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E为AC的中点，ED，CB的延长线交于点F. 求证：=. 证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠ACD=90°， ∴∠A=∠BCD.∵E 为AC 的中点，∴DE=AC=AE，∴∠A=∠EDA. ∵∠EDA=∠BDF，∴∠BDF=∠A=∠BCD. 又∠F=∠F，∴△FDB∽△FCD，∴=.∵∠CDB=∠ADC=90°，∠BCD=∠A， ∴△BCD∽△CAD，∴=，∴=. 变式训练 典例1 5 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 变式4 典例4 变式5 典例5 变式6 目 录 导 航