第2章 专题9 创新题专练——二次函数与几何图形综合(习题课件)-【初中学霸创新题】2023-2024学年九年级下册数学(北师大版)

第二章 二次函数 专题9 　创新题专练——二次函数与几何图形综合 目 录 题型1 与线段有关的二次函数问题 题型2 与面积有关的二次函数问题 题型3 与动点及存在性问题有关的二次函数 典例1【新趋势 动点探究题】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，-3）. （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x 轴于点H，与BC 交于点M，连接PC. 求线段PM的最大值. 题型1 与线段有关的二次函数问题 【规范解答】（1）将A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）的坐标分别代入函数表达式，得 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 解得 ∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3. （2）设直线BC的函数表达式为y=kx+m，将B（3，0），C（0，-3）的坐标分别代入函数表达式，得解得 ∴BC的函数表达式为y=x-3. 设P（n，n2-2n-3），M（n，n-3）. 则PM=（n-3）-（n2-2n-3）=-n2+3n=-+. ∵0<n<3，∴当n=时，PM最大=，∴线段PM的最大值为. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 1. 【新趋势 动点探究题】 如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与x 轴相交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y=x+t 上，动点P（m，n）在x 轴上方的抛物线上. （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）过点P 作PM⊥x 轴于点M，PN⊥l 于点N，当1<m<3时，求PM+PN 的最大值. ⋮⋮ 变式训练 解：（1）∵抛物线的顶点为D（1，4），a=-1， ∴抛物线的表达式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3. （2）如图，延长MP交直线l于点G，设直线l交y轴于点E，交x轴于点F. G E F 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 将D（1，4）代入y=x+t，得4=+t， 解得t=. ∴直线l的表达式为y=x+， ∴E，F（-2，0），∴EF==. ∵点P（m，n）在抛物线y=-x2+2x+3上， ∴P（m，-m2+2m+3），G，M（m，0）， ∴PG= m+-（-m2+2m+3）=m2-m-，PM=-m2+2m+3. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 又∵PM⊥x轴，∴GM //y轴，∴∠PGN=∠OEF. ∴sin∠PGN=sin∠OEF== =. 在Rt△PGN中，PN=PG·sin∠PGN=PG， ∴PM+PN=PM+PG=-m2+2m+3+=-m2+m+=-（m-2）2+. ∵1<m<3，∴当m=2时，PM+PN有最大值. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 典例2 【新趋势 动点探究题】 如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C. 直线y=x-2经过B，C两点，点P是抛物线上一动点. （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值. 题型2 与面积有关的二次函数问题 【规范解答】（1）对于直线y=x-2， 令x=0，则y=-2，∴C（0，-2）， 令y=0，则0=x-2，∴x=4，∴B（4，0）. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 G 将点B，C的坐标分别代入抛物线y=x2+bx+c中，得 解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-x-2. （2）过点P作PG//y轴交BC于点G. 设P，则G. ∴PG=t-2- t2+ t+2=- t2+2t， ∴S△BCP= PG·OB= ×4=-（t-2）2+4， ∵0<t<4，∴当t=2时，S△BCP的值最大，最大值为4. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 2. 【新趋势 动点探究题】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx +2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C. 点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. A ⋮⋮ 变式训练 【解析】∵二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点， ∴解得 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 G ∴二次函数的表达式为y=-x2-x+2. 令x=0，则y=2，∴点C（0，2）. 设直线A