第三章 第四讲 三角函数的图象与性质-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计 第四讲　 三角函数的图象与性质 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 周期函数的定义及周期的概念 (1)对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使 得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f( x + T) = f(x),那么函数 f(x)就叫做 　 　 　 　 　 　 . 非零常数 T 叫做这个函数的　 　 　 　 .如果在周期函数 f(x)的所有 周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫 做 f(x)的最小　 　 　 　 . (2)正弦函数、余弦函数都是周期函数,　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 都是它们的周期,最小正周期是　 　 　 　 . 知识点二　 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 　 函数 性质 　 y = sin x y = cos x y = tan x 图象 定义域 R R { x x∈R,且 x≠ π 2 + kπ,k∈Z} 值域 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 单调性 在　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 , k∈Z 上递增; 在　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 , k∈Z 上递减 在　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 , k∈Z 上递增;在 　 　 　 　 　 　 　 , k∈Z 上递减 在 - π2 +( kπ, π2 + kπ ), k∈Z 上递增 最值 x = 　 　 　 　 　 　 　 时,ymax = 1;x = 　 　 　 　 　 　 　 　 时,ymin = - 1 x = 　 　 　 　 　 时,ymax = 1;x = 　 　 　 　 　 　 时,ymin = - 1 无最值 奇偶性 　 　 　 　 　 　 对 称 性 对称 中心 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 对称 轴 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 无对称轴 最小 正周期 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 归 纳 拓 展 1. 函数 y = sin x,x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键 点是(0,0)、 π2 ,1( )、(π,0)、 3π 2 , - 1( )、(2π,0) . 函数 y = cos x,x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键 点是(0,1)、 π2 ,0( )、(π, - 1)、 3π 2 ,0( )、(2π,1) . 2. 函数 y = sin x 与 y = cos x 的对称轴分别是经过其图 象的最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,如 y = cos x 的对称轴为 x =kπ(k∈Z),而不是 x =2kπ(k∈Z). 3. 对于 y = tan x 不能认为在其定义域上为增函数,而 是在每个区间 kπ - π2 ,kπ + π 2( )( k ∈ Z) 内为增 函数. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 1. 判断正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)y = sin x 在第一象限是增函数. (　 　 ) (2)正切函数 y = tan x 在定义域内是增函数. (　 　 ) (3)y = sin | x |是周期为 π 的偶函数. (　 　 ) (4)由 sin π6 + 2π 3( ) = sin π 6 知, 2π 3 是正弦函数 y = sin x(x∈R)的一个周期. (　 　 ) (5)已知 y = ksin x + 1 , x∈R,则 y 的最大值为 k + 1 . (　 　 ) 题组二　 走进教材 2. (必修 4P45T3 改编)函数 y = tan 2x 的定义域是 (　 　 ) A. x x≠kπ + π4 ,k∈Z{ } B. x x≠kπ2 + π 8 ,k∈Z}{ C. x x≠kπ + π8 ,k∈Z}{ D. x x≠kπ2 + π 4 ,k∈Z}{ 3. (必修4P40T4改编)下列关于函数 y =4sin x,x∈[ -π,π] 的单调性的叙述,正确的是 (　 　 ) A. 在[ - π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数 B. 在 - π2 , π 2[ ]上是增函数,在 -π,- π 2[ ]及 π 2 ,π[ ]上 是减函数 C. 在[0,π]上是增函数,在[ - π,0]上是减函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋