第三章 第三讲 两角和与差的三角函数 二倍角公式-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计 第三讲　 两角和与差的三角函数　 二倍角公式 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知识点二　 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α = 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)cos 2α = 　 　 　 　 = 　 　 　 　 -1 =1 - 　 　 　 　 ; (3)tan 2α = 　 α≠kπ2 + π 4 且 α≠kπ + π 2 ,k∈Z( ). 知识点三　 半角公式(不要求记忆) (1)sin α2 = ± 1 - cos α 2 ; (2)cos α2 = ± 1 + cos α 2 ; (3)tan α2 = ± 1 - cos α 1 + cos α = sin α 1 + cos α = 1 - cos α sin α . 归 纳 拓 展 1. 降幂公式:cos2α = 1 + cos 2α2 ,sin 2α = 1 - cos 2α2 . 2. 升幂公式:1 + cos 2α = 2cos2α,1 - cos 2α = 2sin2α. 3. 公式变形:tan α ± tan β = tan(α ± β)(1∓tan α·tan β). 1 - tan α 1 + tan α = tan π 4 - α( ); 1 + tan α 1 - tan α = tan π 4 + α( ) cos α = sin 2α2sin α,sin 2α = 2tan α 1 + tan2α ,cos 2α = 1 - tan 2α 1 + tan2α , 1 ± sin 2α = (sin α ± cos α) 2 . 4. 辅助角(“二合一”)公式: asin α + bcos α = a2 + b2 sin(α + φ), 其中 cos φ = a a2 + b2 ,sin φ = b a2 + b2 . 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 1. 判断正误(正确的打“√”错误的打“ × ”) (1)存在实数 α,β 使等式 sin(α + β) = sin α + sin β 成立. (　 　 ) (2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小 不确定. (　 　 ) (3) 3 sin α + cos α = 2sin α + π3( ). (　 　 ) (4)y = 3sin x + 4cos x 的最大值是 7. (　 　 ) (5) 公式 tan (α + β) = tan α + tan β1 - tan αtan β可以变形为 tan α + tan β = tan (α + β)(1 - tan αtan β),且对 任意角 α,β 都成立. (　 　 ) 题组二　 走进教材 2. (必修 4P135T5 改编)已知 cos α = - 4 5 ,α∈ π, 3π 2( ), 则sin α + π4( )等于 (　 　 ) A. - 210 B. 2 10 C. - 7 2 10 D. 7 2 10 3. (必修4P131T5改编)计算 sin 43°cos 13° + sin 47°cos 103° 的结果等于 (　 　 ) A. 12 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 4. (必修 4P146 A 组 T4 改编) tan 10° + tan 50° + 3 tan 10°tan 50° = 　 　 　 　 . 题组三　 走向高考 5. (2021·全国乙,5 分)cos2 π12 - cos 25π 12 = (　 　 ) A. 12 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 6. (2020·课标Ⅱ,13,5 分)若 sin x = - 23 ,则 cos 2x = 　 　 　 　 . 7. (2020·浙江,13,6 分)已知 tan θ = 2,则 cos 2θ = 　 　 　 　 ,tan θ - π4( ) = 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋