第九章 第四讲 变量间的相关关系、统计案例-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计 第四讲　 变量间的相关关系、统计案例 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 回归分析 (1)相关关系:当自变量取值一定时,因变量的取 值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关 系. 与函数关系不同,相关关系是一种　 　 　 　 　 　 . (2)散点图:表示具有 　 　 　 　 　 关系的两个变 量的一组数据的图形叫做散点图,它可直观地判断两 变量的关系是否可以用线性关系表示. 若这些散点有 y 随 x 增大而增大的趋势,则称两个变量　 　 　 　 ;若这 些散点有 y 随 x 增大而减小的趋势,则称两个变量 　 　 　 　 . (3)回归方程:ŷ = b̂ x + â,其中b̂ = ∑ n i =1 xiyi - n􀭰x􀭰y ∑ n i =1 x2i - n x2 ,â = 　 　 　 　 　 　 ,它主要用来估计和预测取值,从而获得 对这两个变量之间整体关系的了解. (4)相关系数:r = ∑ n i = 1 xiyi - n􀭰x􀭰y (∑ n i = 1 x2i - n x2)(∑ n i = 1 y2i - n y2) 它主要用于相关量的显著性检验,以衡量它们之 间的线性相关程度. 当 r > 0 时表示两个变量正相关, 当 r < 0 时表示两个变量负相关. | r |越接近 1,表明两 个变量的线性相关性　 　 　 　 ;当 | r |接近 0 时,表明 两个变量间几乎不存在相关关系,相关性　 　 　 　 . 知识点二　 独立性检验 (1)2 × 2 列联表 设 X, Y 为两个分类变量,它们的取值分别为 {x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(2 × 2 列联表) 如下: y1 y2 总计 x1 a b a + b x2 c d c + d 总计 a + c b + d a + b + c + d 　 　 (2)独立性检验 利用随机变量 K2(也可表示为 X2) = n(ad - bc) 2 (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)(其中 n = a + b + c + d 为 样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立 性检验. (3)独立性检验的一般步骤 ①根据样本数据列出 2 × 2 列联表; ②计算随机变量 K2 的观测值 k,查表确定临界 值 k0: 　 　 ③如果 k≥k0,就推断“X 与 Y 有关系”,这种推断 犯错误的概率不超过 P(K2≥k0);否则,就认为在犯错 误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X 与 Y 有关” . 归 纳 拓 展 1. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分 析的方法,只有在散点图大致呈线性分布时,求出的 线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归 方程毫无意义. 根据回归方程进行预报,仅是一个预 报值,而不是真实发生的值. 2. 独立性检验是对两个变量的关系的可信程度的判 断,而不是对其是否有关系的判断. 根据 K2 的值可 以判断两个分类变量有关的可信程度,并用来指导 科研和实际生活. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 1. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学 生的水平成正相关关系. (　 　 ) (2)两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝 对值越接近于 0. (　 　 ) (3)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才 有预测价值. (　 　 ) (4)某同学研究卖出的热饮杯数 y 与气温 x(℃)之间 的关系,得回归方程 ŷ = -2. 352x +147. 767,则气温 为 2 ℃时,一定可卖出 143 杯热饮. (　 　 ) (5)事件 x,y 关系越密切,则由观测数据计算得到的 K2 的观测值越大. (　 　 ) (6)由独立性检验可知,在犯错误的概率不超过 1% 的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有 关,某人数学成绩优秀,则他有 99% 的可能物 理优秀 . (　 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋