第二章 高考大题规范解答系列（一）函数与导数-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学·文科 所以 h(x)在(0, + ∞ )上为减函数, 所以 h(x) < h(0) = 0. 综上,a≤12 . (3)证明:取 a = 12 ,则∀x > 0,总有 x e 1 2 x - ex + 1 < 0 成立, 令 t = e 1 2 x,则 t > 1,t2 = ex,x = 2ln t, 故 2tln t < t2 - 1 即 2ln t < t - 1t 对任意的 t > 1 恒 成立. 所以对任意的 n∈N∗,有 2ln n + 1n < n + 1 n - nn + 1 , 整理得到:ln(n + 1) - ln n < 1 n2 + n , 故 1 12 + 1 + 1 22 + 2 + … + 1 n2 + n > ln 2 - ln 1 + ln 3 - ln 2 +… + ln(n + 1) - ln n = ln(n + 1), 故不等式成立. 名师点拨 　 MING SHI DIAN BO (1)函数中与正整数有关的不等式,其实质是利用函 数性质证明数列不等式,证明此类问题时常根据 已知的函数不等式,用关于正整数 n 的不等式替代 函数不等式中的自变量. 通过多次求和达到证明 的目的. 此类问题一般至少 2 问,所证的不等式常 由第一问根据待证式的特征而得到. (2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式),而待证 不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等 式),还要注意指、对数式的互化,如 ex > x +1 可化为 ln(x + 1) < x 等. 〔变式训练 3〕 　 (2022·全国高三专题练习)已知函数 f(x) = 12 ax 2 - x - ln x(a∈R) . (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 x≥1, | f(x) |≥2,求 a 的取值范围; (3)证明:∑ n k = 2 1 ln k > 1 - 1 n . 温馨提示:复习至此,请完成练案[17] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考大题规范解答系列(一)———函数与导数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 利用导数解决与函数有关的极、最值问题 　 　 例 1 (2021·北京,19,15 分)已知函数 f( x) =3 -2x x2 + a . (1)若 a = 0,求曲线 y = f(x)在(1,f(1))处的切线 方程; (2)若函数 f(x)在 x = - 1 处取得极值,求 f(x)的 单调区间,以及最大值和最小值. 【标准答案】———规范答题　 步步得分 (1)当 a = 0 时,f(x) = 3 - 2x x2 ,f(1) = 1 2 分 得分点① ………… …………………………………… f ′(x) = 2x - 6 x3 ,故 f ′(1) = - 4, 4 分 得分点② ………………… …………………………………… 故曲线 y = f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y = - 4(x - 1) + 1,即 4x + y - 5 = 0. 5 分 得分点③…… (2)由题意得 f ′(x) = 2x 2 - 6x - 2a (x2 + a) 2 ,且 f ′( - 1) = 0,故 8 - 2a = 0,解得 a = 4, 7 分 得分点④………… 故 f( x) = 3 - 2x x2 + 4 , x∈R, f ′ ( x) = 2x 2 - 6x - 8 (x2 + 4) 2 = 2(x + 1)(x - 4) (x2 + 4) 2 , 9 分 得分点⑤……………………… 令 f ′(x) > 0,解得 x > 4 或 x < - 1;令 f ′(x) < 0,解 得 - 1 < x < 4, 故函数 f( x)的单调增区间为( - ∞ , - 1)和(4, + ∞ ),单调减区间为( - 1,4) . 11 分 得分点⑥…… 所以 f(x)的极大值为 f( - 1) = 1,f( x)的极小值 为f(4) = - 14 . 13 分 得分点⑦……………………… 又当 x∈( -∞ , -1)时,3 - 2x > 0,故 f(x) > 0; 当 x∈(4, + ∞ )时,3 - 2x < 0,故 f(x) < 0, 14 分 得分点⑧ …… …………………………………… ∴ f(x)max = f( - 1) = 1,f(x)min = f(4) = - 1