第二章 第四讲 函数的奇偶性与周期性-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计 第四讲　 函数的奇偶性与周期性 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x 都有 　 　 　 　 　 　 ,那 么函数 f(x)是偶函数 都有　 　 　 　 　 　 , 那么函数 f( x)是奇 函数 图象 特征 关于　 　 　 　 对称 关于　 　 　 　 对称 　 　 知识点二　 函数的周期性 1.周期函数 对于函数 y = f(x),如果存在一个非零常数 T,使 得当 x 取定义域内的任何值时,都有　 　 　 　 　 　 　 , 那么就称函数y = f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的 周期. 2.最小正周期 如果在周期函数 f( x)的所有周期中存在一个 　 　 　 　 　 　 ,那么这个　 　 　 　 　 　 就叫做 f(x)的 最小正周期. 归 纳 拓 展 1. 奇(偶)函数定义的等价形式 (1) f( - x) = f( x)⇔ f( - x) - f( x) = 0⇔ f( - x)f(x) = 1( f(x)≠0)⇔f(x)为偶函数; (2) f( - x) = - f(x)⇔f( - x) + f(x) = 0⇔f( - x)f(x) = - 1( f(x)≠0)⇔f(x)为奇函数. 2. 对 f(x)的定义域内任一自变量的值 x,最小正周期 为 T (1)若 f(x + a) = - f(x),则 T = 2 | a | ; (2)若 f(x + a) = 1f(x),则 T = 2 | a | ; (3)若 f(x + a) = f(x + b),则 T = | a - b | . 3. 函数图象的对称关系 (1)若函数 f( x)满足关系 f( a + x) = f( b - x),则 f(x)的图象关于直线 x = a + b2 对称; (2)若函数 f(x)满足关系 f(a + x) = - f(b - x),则 f(x)的图象关于点 a + b2 ,0( )对称. 4. 一些重要类型的奇偶函数 (1)函数 f(x) = ax + a - x为偶函数,函数 f(x) = ax - a - x 为奇函数; (2)函数 f(x) = a x - a - x ax + a - x = a 2x - 1 a2x + 1 为奇函数; (3)函数 f(x) = loga b - x b + x为奇函数; (4)函数 f(x) = loga(x + x2 + 1 )为奇函数. 双 基 自 测 题组一　 走出误区 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (1)函数 y = x2,x∈(0, + ∞ )是偶函数. (　 　 ) (2)若函数 f(x)是奇函数,则必有 f(0) = 0. (　 　 ) (3)若函数 y = f(x + a)是偶函数,则函数 y = f(x)的 图象关于直线 x = a 对称. (　 　 ) (4)若函数 y = f(x + b)是奇函数,则函数 y = f(x)的 图象关于点(b,0)中心对称. (　 　 ) (5)2π 是函数 f( x) = sin x,x∈( - ∞ ,0)的一个 周期 . (　 　 ) (6)周期为 T的奇函数 f(x),一定有 f T2( ) =0. (　 　 ) 题组二　 走进教材 2. (必修 1P35例 5 改编)下列函数中为奇函数的序号是 　 　 　 　 ;偶函数的序号是　 　 　 　 . ①f(x) = 2x4 + 3x2; ②f(x) = x3 - 2x; ③f(x) = x 2 + 1 x ; ④f(x) = x 3 + 1; ⑤y = x2sin x; ⑥y = | ln x | . 3. (必修 1P45T4 改编)若函数 y = f(x) (x∈(a,b))为 奇函数,则 a + b = 　 　 　 　 . 4. (必修 1P45T5 改编)若函数 y = f(x)(x∈R)是奇函 数,则下列坐标表示的点一定在函数 y = f(x)图象上 的是 (　 　 ) A. (a, - f(a)) B. ( - a, - f(a)) C. ( - a, - f( - a)) D. (a,f( - a)) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋