第二章 第十一讲 导数的概念及运算-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计 (2)当 0 < x < 8 时,L(x) = - 13 (x - 6) 2 + 9, 此时,当 x =6 时,L(x)取得最大值 L(6) =9(万元). 当 x ≥ 8 时, L ( x ) = 35 - x + 100x( ) ≤ 35 - 2 x·100x = 35 - 20 = 15(万元). 此时,当且仅当 x = 100x ,即 x = 10 时,L(x)取得最 大值 15 万元. 因为 9 < 15,所以当年产量为 10 万件时,小王在这 一商品的生产中所获利润最大,最大利润为 15 万元. 名师点拨 　 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域. (2)利用模型 f( x) = ax + bx 求解最值时,注意取得最 值时等号成立的条件. 〔变式训练 2〕 　 某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜 温室、在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保 留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地. 当 矩形温室的边长各为　 　 　 　 　 　 时,蔬菜的种植 面积最大? 最大面积是　 　 　 　 　 　 . 温馨提示:复习至此,请完成练案[13] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第十一讲　 导数的概念及运算 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 导数的概念与导数的运算 1. 函数的平均变化率 一般地,已知函数 y = f( x),把式子 f(x2) - f(x1) x2 - x1 称为函数y = f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率,还可以表 示为 Δy Δx = f(x2) - f(x1) x2 - x1 . 2. 导数的概念 (1) f(x)在 x = x0 处的导数就是 f(x)在 x = x0 处的 　 　 　 　 　 　 ,记作:y′ | x = x0 或 f ′( x0 ),即 f ′( x0 ) = lim Δx→0 f(x0 + Δx) - f(x0) Δx . (2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时, f ′( x)即为 f(x)的导函数,简称导数,即 y′ = f ′(x) = 　 . 3. 基本初等函数的导数公式 (1)C′ = 　 　 (C 为常数); (2)(xn) ′ = 　 　 　 　 (n∈Q∗) (3)(sin x) ′ = 　 　 　 　 ; (4)(cos x) ′ = 　 　 　 　 ; (5)(ax) ′ = 　 　 　 　 ; (6)(ex) ′ = 　 　 　 　 ; (7)(logax) ′ = 　 　 　 　 ; (8)(ln x) ′ = 　 　 　 　 . 4. 导数的运算法则 (1)[ f(x) ± g(x)] ′ = 　 　 　 　 　 　 　 　 . (2)[ f(x)·g(x)] ′ = 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 特别地:[C·f(x)] ′ = 　 　 　 　 (C 为常数) (3) f(x)g(x)[ ]′ = 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 5. 复合函数的导数 复合函数 y = f[g(x)]的导数和函数 y = f(u),u = g(x)的导数间的关系为 　 　 　 　 　 　 　 　 . 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 知识点二　 导数的几何意义 函数 f(x)在 x = x0 处的导数就是曲线 y = f(x)在 点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线 y = f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率 k = f ′(x0),切线方程为 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 归 纳 拓 展 1. 1f(x)[ ]′ = - f ′(x) f 2(x) . 2. f ′(x0)不一定为 0,但[ f(x0)] ′一定为 0. 3. 奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周 期函数的导数还是周期函数. 4. 函数 y = f(x)的导数 f ′(x)反映了函数 f(x)的瞬时 变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小 | f ′(x) |反映了变化的快慢, | f ′(x) |越大,曲线在这 点处的切线越“陡” . 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 1. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (1) f ′(x)与 f ′(x0)(x