第二章 第十讲 函数模型及其应用-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学·文科 第十讲　 函数模型及其应用 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点　 函数模型及其应用 1. 几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x) = ax + b(a,b 为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x) = kx + b(k,b 为常数且 k≠0) 二次函数模型 f(x) = ax2 + bx + c(a,b,c 为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x) = bax + c(a,b,c 为常数,b≠0,a > 0 且 a≠1) 对数函数模型 f(x) = blogax + c(a,b,c 为常数,b≠0,a > 0 且 a≠1) 幂函数模型 f(x) = axn + b(a,b 为常数,a≠0) 　 　 2. 三种函数模型的性质 　 　 函数 性质　 　 y = ax(a > 1) y = logax(a > 1) y = xn(n > 0) 在(0, + ∞ ) 上的增减性 单调　 　 　 　 单调　 　 　 　 单调递增 增长速度 越来越　 　 越来越　 　 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大 逐渐表现为 与　 　 　 平行 随 x 的增大 逐渐表现为 与　 　 　 平行 随 n 值变化 而各有不同 值的比较 存在一个 x0,当 x > x0 时,有 logax < x n < ax 　 　 3. 解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量 关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语 言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学 模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下: 归 纳 拓 展 1. 函数 f ( x) = xa + b x ( a > 0, b > 0, x > 0) 在区间 (0, ab]内单调递减,在区间[ ab, + ∞ )内单调 递增. 2. 直线上升、对数缓慢、指数爆炸. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 1. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (1)函数 y =2x 的函数值比 y = x2 的函数值大. (　 　 ) (2)“指数爆炸”是指数型函数 y = a·bx + c(a≠0,b >0, b≠1)增长速度越来越快的形象比喻. (　 　 ) (3)幂函数增长比直线增长更快. (　 　 ) (4)不存在 x0,使 ax0 < xa0 < logax0 . (　 　 ) 题组二　 走进教材 2. (必修 1P107 BT1 改编)某工厂一年中各月份的收 入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错 误的是 (　 　 ) A. 收入最高值与收入最低值的比是 3︰1 B. 结余最高的月份是 7 月 C. 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入 的变化率相同 D. 前 6 个月的平均收入为 40 万元 3. (必修 1P107A 组 T1 改编)在某个物理实验中,测量 得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下表: x 0. 50 0. 99 2. 01 3. 98 y - 0. 99 0. 01 0. 98 2. 00 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 045 衡中学案·2024 年度创新设计 则对 x,y 最适合的拟合函数是 (　 　 ) A. y = 2x B. y = x2 - 1 C. y = 2x - 2 D. y = log2x 4. (必修 1P104例 5 改编)某种动物繁殖量 y 只与时间 x 年的关系为 y = alog3 (x + 1),设这种动物第 2 年有 100 只,到第 8 年它们将发展到 (　 　 ) A. 200 只 B. 300 只 C. 400 只 D. 500 只 题组三　 走向高考 5. (2020·全国Ⅲ,4)Logistic 模型是常用数学模型之 一,可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建 立了