第二章 第十二讲 导数在研究函数中的应用-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学·文科 名师讲坛·素养提升 MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 两曲线的公共切线问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 5 (2022·全国甲卷)已知函数 f(x) = x3 - x,g(x) = x2 + a,曲线 y = f(x)在点(x1,f(x1))处的切 线也是曲线 y = g(x)的切线. (1)若 x1 = - 1,求 a; (2)求 a 的取值范围. [解析] 　 (1)由题意知,f( - 1) = - 1 - ( - 1) = 0,f ′(x) = 3x2 - 1,f ′( - 1) = 3 - 1 = 2, 则 y = f(x)在点( - 1,0)处的切线方程为 y = 2(x + 1), 即 y = 2x + 2,设该切线与 g ( x) 切于点 ( x2, g(x2)),g′(x) = 2x, 则 g′(x2) = 2x2 = 2,解得 x2 = 1,则 g(1) = 1 + a = 2 + 2,解得 a = 3. (2)f ′(x) = 3x2 - 1,则 y = f(x)在点(x1,f(x1))处 的切线方程为 y - (x31 - x1) = (3x21 - 1)(x - x1), 整理得 y = (3x21 - 1)x - 2x31, 设该切线与 g(x)切于点(x2,g(x2)),g′(x) = 2x, 则g′(x2) = 2x2, 则切线方程为 y - (x22 + a) = 2x2(x - x2), 整理得 y = 2x2x - x22 + a,则 3x21 - 1 = 2x2, - 2x31 = - x22 + a, { 整理得 a = x22 - 2x31 = 3x21 2 - 1 2( ) 2 - 2x31 = 9 4 x 4 1 - 2x31 - 3 2 x 2 1 + 1 4 ,令 h(x) = 9 4 x 4 - 2x3 - 32 x 2 + 14 , 则 h′(x) = 9x3 - 6x2 - 3x = 3x(3x + 1) (x - 1),令 h′(x) > 0,解得 - 13 < x < 0 或 x > 1, 令 h′(x) < 0,解得 x < - 13 或 0 < x < 1, 则 x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表: x -∞ , - 13( ) - 1 3 - 1 3 ,0( ) 0 (0,1) 1 (1, +∞ ) h′(x) - 0 + 0 - 0 + h(x) ↘ 527 ↗ 1 4 ↘ -1 ↗ 　 　 则 h(x)的值域为[ - 1, + ∞ ),故 a 的取值范围为 [ - 1, + ∞ ). [引申]本例中两曲线公切线方程为 　 . 名师点拨 　 MING SHI DIAN BO 　 　 同时和曲线 y = f(x)、y = g(x)都相切的直线称为 两曲线的公共切线. 设直线与曲线 y = f( x)切于( x1, f(x1))与曲线 y = g(x)切于( x2,g( x2)),则切线方程 为 y - f(x1) = f ′(x1)(x - x1),即 y = f ′(x1)x + f(x1) - f ′ ( x1 ) x1 同理 y = g′ ( x2 ) x + g(x2) - g′ ( x2 ) x2 . ∴ f ′(x1) = g′(x2) f(x1) - f ′(x1)x1 = g(x2) - g′(x2)x2{ , 解 出 x1、 x2, 从而可得切线方程. 由此可知两曲线公切线的条数即 为上述方程组解的个数. 〔变式训练 3〕 　 若曲线 y = x + ln x 与曲线 y = ax2 + (a + 2) x + 1 存 在过点(0, - 1)的公切线,则 a = 　 　 　 　 . 温馨提示:复习至此,请完成练案[14] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第十二讲　 导数在研究函数中的应用 第一课时　 导数与函数的单调性 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点　 函数的单调性 (1)设函数 y = f(x)在某个区间内　 　 　 　 　 ,若 f ′(x)　 　 0,则 f(x)为增函数,若 f ′(x) 　 　 0,则 f(x) 为减函数. (2)求可导函数 f(x