第二章 第三讲 函数的单调性与最值-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计 名师点拨 　 MING SHI DIAN BO 　 　 已知函数的定义域,等于是知道了 x 的范围, (1)当定义域不是 R 时,往往转化为解集问题,进而转 化为与之对应的方程解的问题,此时常利用代入法或 待定系数法求解;(2)当定义域为 R 时,往往转化为恒 成立的问题,常常结合图形或利用最值求解. 〔变式训练 3〕 　 (1)已知函数 y = mx2 - 6mx +m + 8 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围为　 　 　 　 . (2 ) ( 2022 · 浙江模拟预测 ) 设 函 数 f ( x ) = ex - 1,x≤0, - x2 + x,x > 0,{ 则f[ f( - ln 2)] = 　 　 　 　 ;当 x∈ ( -∞,m] 时,函数 f ( x)的值域为 ( - 1, 1 4 ],则 m 的取值范围是　 　 　 　 　 　 　 　 . 温馨提示:复习至此,请完成练案[5] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三讲　 函数的单调性与最值 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 函数的单调性 1. 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 当 x1 < x2 时,都有　 　 　 　 　 　 　 　 ,那么就说函 数f(x) 在区间 D 上是增 函数 当 x1 < x2 时,都有　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,那么 就说函数 f(x) 在区间 D 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是 　 　 　 　 　 自左 向 右 看 图 象 是 　 　 　 　 　 　 2. 单调区间的定义 如果函数 y = f(x)在区间 D 上是 　 　 　 　 　 　 , 那么就说函数 y = f(x)在这一区间具有(严格的)单调 性,　 　 　 　 叫做函数 y = f(x)的单调区间. 知识点二　 函数的最值 前提 设函数 y = f( x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意 x∈ I,都有 　 　 　 　 　 　 ; (2)存在 x0 ∈I,使得　 　 　 　 　 　 (1)对于任意 x∈I,都 有　 　 　 　 　 　 ; (2 ) 存 在 x0 ∈ I, 使 得　 　 　 　 　 　 结论 M 为最大值 M 为最小值 归 纳 拓 展 1. 复合函数的单调性 函数 y = f(u),u = φ(x),在函数 y = f[φ(x)]的定义 域上,如果 y = f(u),u = φ(x)的单调性相同,则 y = f[φ(x)]单调递增;如果 y = f(u),u = φ(x)的单调性 相反,则 y = f[φ(x)]单调递减. 2. 单调性定义的等价形式 设任意 x1,x2∈[a,b],x1≠x2 . (1) 若 有 ( x1 - x2 ) [ f ( x1 ) - f ( x2 )] > 0 或 f(x1) - f(x2) x1 - x2 > 0,则 f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上是增 函数. (2) 若 有 ( x1 - x2 ) [ f ( x1 ) - f ( x2 )] < 0 或 f(x1) - f(x2) x1 - x2 < 0,则 f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上是减 函数. 3. 函数单调性的常用结论 (1)若 f(x),g( x)均为区间 A 上的增(减)函数,则 f(x) + g(x)也是区间 A 上的增(减)函数. (2)若 k > 0,则 kf(x)与 f(x)单调性相同,若 k < 0, 则kf(x)与 f(x)单调性相反. (3)函数 y = f(x)( f(x) > 0)在公共定义域内与 y = - f(x),y = 1f(x)的单调性相反. (4)函数 y = f(x)( f(x)≥0)在公共定义域内与 y = f(x)的单调性相同. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 1. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (1)若定义在 R 上的函数 f(x),有 f( - 1)≥f(3),则 函数f(x)在 R 上为减函数. (　 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋