第二章 第六讲 指数与指数函数-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学·文科 名师讲坛·素养提升 MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 转换变量———解决二次函数问题中的核心素养 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 6 已知函数 f(x) = x2 + 2ax - a + 2,对∀a∈ [ -1,1]都有 f(x) > 0 恒成立,求实数 x 的范围. [解析] 　 因为对于∀a∈[ - 1,1],f( x) > 0,令 g(a) = (2x - 1)a + x2 + 2,则 g(a) > 0 在[ - 1,1]上恒 成立,所以 g( - 1) = x2 - 2x + 3 > 0, g(1) = x2 + 2x + 1 > 0.{ 解得 x≠ - 1,故 实数 x 的取值范围是{x | x≠ -1}. 名师点拨 　 MING SHI DIAN BO 　 　 本题将变量 x 转化为常数,实数 a 转化为变量 a, 巧妙地解决了问题. 因此,认真审题,分清变量与常量 是解决本题的关键. 〔变式训练 3〕 　 已知函数 f(x) = x2 - 2x,g(x) = ax + 2(a > 0),对任 意的 x1 ∈[ - 1,2] 都存在 x0 ∈[ - 1,2],使得 g(x1) = f(x0),则实数 a 的取值范围是　 　 　 　 . 温馨提示:复习至此,请完成练案[8] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六讲　 指数与指数函数 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 指数与指数运算 1. 根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 　 　 　 　 ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n > 1 且 n∈N∗ 当 n 为奇数时,正数的 n 次方 根是一个 　 　 　 　 ,负数的 n 次方根是一个　 　 　 　 n a 零的 n 次方根 是零 当 n 为偶数时,正数的 n 次方 根有　 　 　 　 　 　 ,它们互为 　 　 　 　 　 　 ± n a 负数没有偶次 方根 　 　 (2)两个重要公式 ① n an = 　 　 ,n 为奇数, | a | = 　 　 (a≥0), 　 　 (a < 0),{ n 为偶数.{ ②( n a) n = 　 　 (注意 a 必须使n a有意义) . 2. 分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是 a m n = 　 　 　 　 (a > 0, m,n∈N∗,n > 1) . (2)正数的负分数指数幂是 a - m n = 1n am (a > 0,m, n∈N∗,n > 1) . (3)0 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂无 意义. 3. 有理指数幂的运算性质 (1)ar·as = 　 　 　 　 (a > 0,r、s∈Q); (2)(ar) s = 　 　 　 　 (a > 0,r、s∈Q); (3)(ab) r = 　 　 　 　 (a > 0,b > 0,r∈Q) . 知识点二　 指数函数的图象与性质 指数函数的概念、图象和性质 定义 函数 f(x) = ax(a > 0 且 a≠1)叫指数函数 底数 a > 1 0 < a < 1 图象 性质 函数的定义域为 R,值域为(0, + ∞ ) 函数图象过定点(0,1),即 x = 0 时,y = 1 当 x > 0 时,恒有 y > 1; 当 x < 0 时,恒有 0 < y < 1 当 x > 0 时,恒有 0 < y < 1; 当 x < 0 时,恒有 y > 1 函数在定义域 R 上为 增函数 函数在定义域 R 上为 减函数 归 纳 拓 展 1. 画指数函数 y = ax (a > 0 且 a≠1)的图象时注意两 个关键点:(1,a),(0,1) . 2. 底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低,不论是 a > 1,还是 0 < a < 1,在第一象限内底数越大,函数 图象越高,即“底大图高” . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 HZXA　 029 衡中学案·2024 年度创新设计 3. f(x) = ax 与 g(x) = 1a( ) x (a >0 且 a≠1)的图象关于 y 轴对称. 双 基 自 测