第二章 第九讲 函数与方程-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学·文科 名师讲坛·素养提升 MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 利用数形结合思想解题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　例 8 (2022·全国乙卷)已知函数 f(x),g( x) 的定义域均为 R,且 f(x) + g(2 - x) = 5,g(x) - f(x - 4) = 7. 若 y = g(x)的图象关于直线 x = 2 对称,g(2) = 4,则∑ 22 k = 1 f(k) = ( D ) A. - 21 B. - 22 C. - 23 D. - 24 [解析] 　 因为 y = g( x)的图象关于直线 x = 2 对称, 所以 g(2 - x) = g(x + 2), 因为 g(x) - f(x - 4) = 7,所以 g(x + 2) - f(x - 2) = 7,即 g(x + 2) = 7 + f(x - 2), 因为 f(x) + g(2 - x) = 5,所以 f( x) + g( x + 2) = 5, 代入得 f(x) + [7 + f(x - 2)] = 5,即 f(x) + f(x - 2) = - 2, 所以 f (3) + f (5) + … + f (21) = ( - 2) × 5 = - 10, f(4) + f(6) +… + f(22) = ( - 2) × 5 = - 10. 因为 f(x) + g(2 - x) = 5,所以 f(0) + g(2) = 5,即 f(0) = 1,所以 f(2) = - 2 - f(0) = - 3. 因为 g(x) - f(x - 4) = 7,所以 g(x + 4) - f( x) = 7,又因为f(x) + g(2 - x) = 5, 联立得,g(2 - x) + g(x + 4) = 12, 所以 y = g(x)的图象关于点(3,6)中心对称,因为 函数g(x)的定义域为 R, 所以 g(3) = 6, 因为 f(x) + g(x + 2) = 5,所以 f(1) = 5 - g(3) = - 1. 所以∑ 22 k = 1 f(k) = f(1) + f(2) + [f(3) + f(5) + … + f(21)] + [f(4) + f(6) + … + f(22)] = - 1 - 3 - 10 - 10 = - 24. 故选 D. 名师点拨 　 MING SHI DIAN BO 　 　 求解函数图象的应用问题,其实质是利用数形结 合思想解题,其思维流程一般是: 一画图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋通过五点作图法或函数图象变换法画出有关函 数的图象 二分析 ↓ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋准确分析函数图象的特征,定性分析、定量分析 三转化 ↓ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋借助函数图象,把原问题转化为数量关系比较 明确的问题 四结论 ↓ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋解决问题,并回归题目的要求,得出正确结论 〔变式训练 3〕 　 函数 y = ln | x -1 |的图象与函数 y = - 2cos πx( - 2≤ x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 (　 　 ) A. 3 B. 6 C. 4 D. 2 温馨提示:复习至此,请完成练案[11] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第九讲　 函数与方程 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 函数的零点 1.函数零点的定义 对于函数 y = f(x)(x∈D),把使　 　 　 　 成立的 实数 x 叫做函数 y = f(x)(x∈D)的零点. 注:函数的零点不是点. 是函数 f(x)与