第八章 高考大题规范解答系列（五）解析几何-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学·文科 名师讲坛·素养提升 MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 双斜率问题的齐次化处理 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 例 4 已知 A,B 为抛物线 y2 = 4x 上异于顶点的 两动点,且满足以 AB 为直径的圆过顶点. 求证:直线 AB 过定点. [证明] 　 当直线 AB 斜率存在时,设直线 AB:y = kx + b, A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 由题意得 k OA ·k OB = y 1 x 1 · y 2 x 2 = - 1, 联立 y2 = 4x,　 　 　 　 　 ① y = kx + b,　 　 　 　 ②{ 由②得,y - kxb = 1, 代入①得,y2 = 4x·y - kxb , 整理得,by2 - 4xy + 4kx2 = 0, 即 b yx( ) 2 - 4 yx( ) + 4k = 0, 则 y 1 x 1 · y 2 x 2 = 4kb = - 1,得 b = - 4k, ∴ y = kx + b = k(x - 4),故直线 AB 过定点(4,0) 当直线 AB 的斜率不存在时,则对称性可知 ∠AOx = 45 ° . 直线 OA 和抛物线 y2 = 4x 的交点为(4,4), 直线 AB 的方程为 x = 4,直线 AB 过点(4,0). 综上,直线 AB 过定点(4,0). 温馨提示:复习至此,请完成练案[56] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考大题规范解答系列(五)———解析几何 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 范围问题 　 　 例 1 (2022·四川省攀枝花市高三统考)已知 双曲线 E:x 2 2 - y 2 = 1 的两个焦点分别为 F1,F2,动点 P 满足 |PF1 | + |PF2 | = 4. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若轨迹 C 上存在两点 A,B 满足 kOA + kOB = - 1 (kOA,kOB分别为直线 OA,OB 的斜率),求直线 AB 的斜 率的取值范围. [分析] 　 (1)由题设知: |PF1 | + |PF2 | > | F1F2 | , 结合椭圆的定义写出轨迹 C 的方程; (2)设 AB:y = kx + b,A(x1,y1),B(x2,y2),联立椭 圆方程并应用韦达定理可得 x1 + x2 = - 8kb 1 + 4k2 ,x1x2 = 4(b2 - 1) 1 + 4k2 ,根据 kOA + kOB = - 1 可得 2k = b2 - 1,由 Δ > 0 有 1 - b2 > - 4k2,即可求直线 AB 的斜率的取值 范围. 【标准答案】———规范答题　 步步得分 (1)由题设,F1( - 3 ,0),F2( 3 ,0), 1 分 得分点① ………… …………………………………… ∴ |PF1 | + |PF2 | = 4 > |F1F2 | = 2 3 ,即动点 P 的 轨迹是以 F1,F2 为焦点,长轴长为 4 的椭圆, 3 分 得分点② ……… …………………………………… ∴ 动点 P 的轨迹 C 的方程为x 2 4 + y 2 = 1. 5 分 得分点③ ……… …………………………………… (2 ) 由 题 设, 设 直 线 AB: y = kx + b, A ( x1, y1),B(x2,y2), ∴ y1 x1 + y2 x2 = x2y1 + x1y2 x1x2 = - 1. 6 分 得分点④…… 联立轨迹 C 可得:(1 + 4k2)x2 + 8kbx + 4b2 - 4 = 0, 则 Δ = 16(1 + 4k2 - b2) > 0, ∴ x1 + x2 = - 8kb 1 + 4k2 ,x1x2 = 4(b2 - 1) 1 + 4k2 , 8 分 得分点⑤ ………… …………………………………… x2y1 + x1y2 = 2kx1x2 + b(x1 + x2), 则 2k + b(x1 + x2) x1x2 = 2k 1 - b2 = - 1,即 2k = b2 - 1, ∵ 1 - b2 > - 4k2,且 b2 = 2k + 1≥0, 10 分 得分点⑥ …………… …………………………………… ∴ k(2k - 1) > 0 且 k≥ - 12 ,可得 - 1 2 ≤k < 0 或 k > 12 . 12 分 得分点⑦………………………………… 【评分细则】 　 ①正确写出