第八章 第五讲 椭圆-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计 [解析] 　 由PA→·PB→ =0 知 PA⊥PB,即 P 在以 AB 为直径的圆 D:x2 + y2 = 4 上,由题意可知圆 C 与圆 D 相交或相切,∴ | r - 2 |≤ 42 + 32 ≤r + 2,解得 3≤r≤ 7. 故选 B. 　 　 [引申]若将“PA→·PB→ =0”改为“PA→·PB→ <0”,则 r 的取值范围为　 　 　 　 　 　 . 名师点拨 　 MING SHI DIAN BO 　 　 根据数的结构特征,构造出与之相应的几何图形, 并利用图形的特性和规律,解决数的问题,以形助数, 使问题变得简单. ———数形结合 将生疏、复杂、难解的问题通过变换化为熟悉、简 单、易解的问题. ———转化与化归 〔变式训练 4〕 　 (2022·福建三明一中模拟预测)已知圆 O:x2 + y2 = 94 ,圆 M:(x - a) 2 + ( y - 1) 2 = 1,若圆 M 上存在 点 P,过点 P 作圆 O 的两条切线,切点分别为 A,B, 使得∠APB = π3 ,则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. [ - 15 , 15 ] B. [ - 3 , 3 ] C. [ 3 , 15 ] D. [ - 15 , - 3 ]∪[ 3 , 15 ] 温馨提示:复习至此,请完成练案[50] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第五讲　 椭圆 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 椭圆的定义 平面内与两个定点 F1、F2 的　 　 　 　 　 　 　 　 　 的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的　 　 　 　 , 两焦点间的距离叫做椭圆的　 　 　 　 . 注:若集合 P ={M | |MF1 | + |MF2 | =2a},|F1F2 | =2c, 其中 a > 0,c > 0,且 a、c 为常数,则有如下结论: (1)若 a > c,则集合 P 为　 　 　 　 ; (2)若 a = c,则集合 P 为　 　 　 　 ; (3)若 a < c,则集合 P 为　 　 　 　 . 知识点二　 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0) y 2 a2 + x 2 b2 = 1(a > b > 0) 图形 性 质 范围 - a≤x≤a - b≤y≤b - b≤x≤b - a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴　 　 　 　 　 对称中心:原点 顶点 A1( - a,0),A2(a,0) B1(0, - b),B2(0,b) A1(0, - a),A2(0,a) B1( - b,0),B2(b,0) 轴 长轴 A1A2 的长为　 　 　 　 ; 短轴 B1B2 的长为　 　 　 　 焦距 |F1F2 | = 　 　 　 　 离心率 e = 　 　 　 　 ∈(0,1) a、b、c 的关系 　 　 　 　 归 纳 拓 展 1. a + c 与 a - c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大 值和最小值. 2. 过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦 | AB | = 2b 2 a ,称为 通径. 3. 若过焦点 F1 的弦为 AB,则△ABF2 的周长为 4a. 4. e = 1 - b 2 a2 . 5. 椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中 x2 项的分母较 大,椭圆的焦点在 y 轴上⇔标准方程中 y2 项的分母 较大. 6. AB 为椭圆 x 2 a2 + y 2 b2 = 1( a > b > 0)的弦,A( x1,y1 ), B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0),则 (1)弦长 l = 1 + k2 | x1 - x2 | = 1 + 1 k2 | y1 - y2 | ; (2)直线 AB 的斜率 kAB = - b2x0 a2y0 . 7. 若 M、N 为椭圆x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0)长轴端点,P 是 椭圆上不与 M、N 重合的点,则 kPM·kPN = - b2 a2 . 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 1. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数 的点的轨迹是椭圆. (　 　 ) (2)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆. (　 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �