第八章 第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学·文科 〔变式训练 4〕 　 (2022·甘肃二模)阿波罗尼斯是古希腊著名数学 家,与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学 三巨匠,他研究发现:如果一个动点 P 到两个定点的 距离之比为常数 λ(λ > 0,且 λ≠1),那么点 P 的轨 迹为圆,这就是著名的阿波罗尼斯圆 . 若点 C 到 A( - 1,0),B(1,0)的距离之比为 3 ,则点 C 到直线 x - 2y + 8 = 0 的距离的最小值为 (　 　 ) A. 2 5 - 3 B. 5 - 3 C. 2 5 D. 3 温馨提示:复习至此,请完成练案[49] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四讲　 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax + By + C = 0(A2 + B2≠0), 圆:(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2( r > 0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的 方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ. 　 　 　 　 方法 位置关系　 　 　 　 几何法 代数法 相交 d 　 　 r Δ 　 　 0 相切 d 　 　 r Δ 　 　 0 相离 d 　 　 r Δ 　 　 0 　 　 知识点二　 圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x - a1) 2 + (y - b1) 2 = r21( r1 > 0), 圆 O2:(x - a2) 2 + (y - b2) 2 = r22( r2 > 0) . 　 方法 位置　 　 　 关系　 　 　 几何法: 圆心距 d 与 r1,r2 的关系 代数法:两圆方程 联立组成方程组的 解的情况 公切线 条数 外离 　 　 　 　 　 　 　 　 4 外切 　 　 　 　 一组实数解 3 相交 　 　 　 　 　 　 两组不同的实数解 2 内切 d = | r1 - r2 | ( r1≠r2) 　 　 　 　 1 内含 0≤d < | r1 - r2 | ( r1≠r2) 　 　 　 　 　 　 0 归 纳 拓 展 1. 当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2 项的系数相同)相 减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程. 两圆相交时,两圆连心线垂直平分公共弦;两圆相切 时,两圆连心线必过切点. 2. 过圆 x2 + y2 = r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x + y0y = r2 . 过圆(x - a)2 + (y - b)2 = r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切 线方程为(x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 . 3. 过圆 x2 + y2 = r2 外一点 M(x0,y0)作圆的两条切线, 则两切点所在的直线方程为 x0x + y0y = r2 . 4. 直线与圆相交时,弦心距 d,半径 r,弦长的一半 12 l 满足关系式r2 = d2 + 12 l( ) 2 . 5. 过圆内一点的最长的弦是直径,最短的是垂直这点 与圆心连线的弦. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 1. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆 相交. (　 　 ) (2)“k = 1”是“直线 x - y + k = 0 与圆 x2 + y2 = 1 相 交”的必要不充分条件. (　 　 ) (3)过圆 O:x2 + y2 = r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条 切线,切点分别为 A,B,则 O,P,A,B 四点共圆且 直线 AB 的方程是 x0x + y0y = r2 . (　 　 ) (4)圆 C1:x2 + y2 + 2x + 2y - 2 = 0 与圆 C2:x2 + y2 - 4x - 2y + 1 = 0 的公切线有且仅有 2 条. (　 　 ) 题组二　 走进教材 2. (必修 2P132A5 改编)直线 l:3x - y - 6 = 0 与圆 x2 + y2 - 2x -4y =0 相交于 A,B 两点,则 |AB | = 　 　 　 　 . 题组三　 走向高考 3. (2022·新高考Ⅱ卷)设点 A( - 2,3),B(0,a),若直 线 AB 关于 y = a 对称的直线与圆(x + 3) 2 + (y + 2) 2 = 1 有公共点,则 a 的取值范围是 　 　 　 　 　 　 　 　 . 4. (2021·北京高考真题)已知圆 C:x2 + y