第八章 第三讲 圆的方程-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计 第三讲　 圆的方程 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 圆的定义及方程 定义 平面内到　 　 　 　 的距离等于　 　 　 　 的点 的集合(轨迹)叫做圆 标准 方程 (x - a)2 + (y - b)2 = r2( r > 0) 圆心 C:　 　 　 　 半径:　 　 一般 方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 - 4F > 0) 圆心: - D2 , - E 2( ) 半径:r = 　 　 　 　 　 　 　 　 知识点二　 点与圆的位置关系 圆的标准方程(x - a)2 + (y - b)2 = r2,点M(x0,y0), (1)(x0 - a) 2 + (y0 - b) 2 　 　 r2⇔点在圆上; (2)(x0 - a) 2 + (y0 - b) 2 　 　 r2⇔点在圆外; (3)(x0 - a) 2 + (y0 - b) 2 　 　 r2⇔点在圆内. 归 纳 拓 展 1. 圆心在过切点且垂直于切线的直线上. 2. 圆心在任一弦的垂直平分线上. 3. 两圆相切时,切点与两圆心三点共线. 4. 以 A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程 是(x - x1) (x - x2) + (y - y1) ( y - y2) = 0(公式推 导:设圆上任一点 P(x,y),则有 kPA·kPB = - 1,由斜 率公式代入整理即可) . 双 基 自 测 题组一　 走出误区 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径. (　 　 ) (2)若直线 l:mx + ny + 3 = 0 平分圆 C:x2 - 2x + y2 - 1 = 0,则 2m - 3n = 6. (　 　 ) (3)方程 x2 + 2ax + y2 = 0 一定表示圆. (　 　 ) (4)若点 M(x0,y0)在圆 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 外, 则 x20 + y20 + Dx0 + Ey0 + F > 0. (　 　 ) (5)方程(x + a) 2 + (y + b) 2 = t2 ( t∈R)表示圆心为 (a,b),半径为 t 的圆. (　 　 ) 题组二　 走进教材 2. (必修 2P124A 组 T4)圆 C 的圆心在 x 轴上,并且过点 A( -1,1)和 B(1,3),则圆 C 的方程为　 　 　 　 　 . 3. (必修 2P132A 组 T3)以点(2, - 1)为圆心且与直线 3x - 4y + 5 = 0 相切的圆的方程为 (　 　 ) A. (x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 3 B. (x + 2) 2 + (y - 1) 2 = 3 C. (x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 9 D. (x + 2) 2 + (y - 1) 2 = 9 题组三　 走向高考 4. (2022·北京)若直线 2x + y - 1 = 0 是圆(x - a) 2 + y2 = 1 的一条对称轴,则 a = (　 　 ) A. 12 B. - 1 2 C. 1 D. - 1 5. (2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),( - 1,1), (4,2)中的三点的一个圆的方程为 　 　 　 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点突破·互动探究 KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 圆的方程———自主练透 　 　 例 1 (1)(2021·浙江丽水高中发展共同体期 末)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x + 2y = 4 与 x 轴交于 A 点,直线 m:kx + y - 1 = 0 与 y 轴及直线 l 分别交于 B 点,C 点,且 A,B,C,O 四点共圆,则此圆的 标准方程是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (2)(2022·全国甲卷)设点M 在直线 2x + y - 1 = 0 上,点(3,0)和(0,1)均在☉M 上,则☉M 的方程为