第八章 第七讲 抛物线-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计 第七讲　 抛物线 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件: (1)在平面内; (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离 　 　 　 　 ; (3)定点 F 与定直线 l 的关系为　 　 　 　 . 知识点二　 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2 = 2px (p > 0) y2 = - 2px (p > 0) x2 = 2py (p > 0) x2 = - 2py (p > 0) p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y = 0 x = 0 焦点 F 　 　 　 　 F 　 　 　 　 F 　 　 　 　 F 　 　 　 　 离心率 e = 　 　 　 准线 方程 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P(x0, y0)) |PF | = 　 　 　 　 |PF | = 　 　 　 　 |PF | = 　 　 　 　 |PF | = 　 　 　 　 归 纳 拓 展 抛物线焦点弦的处理规律 如图,直线 AB 过抛物线 y2 = 2px(p > 0)的焦点 F,交抛 物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,CA⊥l 于 C,BD⊥l 于 D,BM⊥AC 于 M,交 OF 于 N,( l 为抛物线的准线) . 则△HBD∽△HFQ∽△HAC∽△BFN∽△BAM,等,且 (1)y1y2 = - p2,x1x2 = p2 4 . (2) |AB | = x1 + x2 + p,x1 + x2≥2 x1x2 = p,即当 x1 = x2 时,弦长最短为 2p. (3) 1|AF | + 1 |BF | = 2 p . (4)弦长 AB = 2p sin2α (α 为 AB 的倾斜角) . (5)以 AB 为直径的圆与准线相切. (6)焦点 F 对 A,B 在准线上射影的张角为 90°. (7)A、O、D 三点共线;B、O、C 三点共线. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 1. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相 等的点的轨迹一定是抛物线. (　 　 ) (2)方程 y = ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上 的抛物线,且其焦点坐标是 a4 ,0( ),准线方程是 x = - a4 . (　 　 ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. (　 　 ) (4)AB 为抛物线 y2 = 2px(p > 0)的过焦点F p2 ,0( ) 的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2 = p2 4 ,y1y2 = - p2,弦长 |AB | = x1 + x2 + p. (　 　 ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被 抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物 线 x2 = - 2ay(a > 0)的通径长为 2a. (　 　 ) 题组二　 走进教材 2. (选修 2 - 1P69例 4) (2023·甘肃张掖诊断)过抛物 线 y2 = 4x 的焦点的直线 l 交抛物线于P(x1,y1 ), Q(x2,y2)两点,如果 x1 + x2 = 6,则 |PQ |等于 (　 　 ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 3. (2022·河北张家口高三期末)已知 M(x0,y0)是拋 物线 C:y2 = 2px(p > 0)上一点,F 是 C 的焦点,y0 = |MF | = 6,则 p = (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 题组三　 走向高考 4. (2022·全国乙卷)设 F 为抛物线 C:y2 = 4x 的焦点, 点 A 在 C 上,点 B(3,0),若 |AF | = |BF | ,则 |AB | = (　 　 ) A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 3 2 5. (2021·全国新高考Ⅰ)已知 O 为坐标原点,抛物线 C:y2 = 2px(p > 0)的焦点为 F,P 为 C 上一点,PF 与 x 轴垂直,Q 为 x 轴上一点,且 PQ⊥OP,若 FQ = 6, 则 C 的准线方程为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �