第八章 第六讲 双曲线-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

高考一轮总复习·数学·文科 第六讲　 双曲线 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 双曲线的定义 平面内与两个定点 F1、F2 的　 　 　 　 　 　 　 　 　 的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的 　 　 　 　 ,两焦点间的距离叫做双曲线的　 　 　 　 . 注:设集合 P = {M | | | MF1 | - | MF2 | | = 2a}, |F1F2 | = 2c,其中 a,c 为常数,且 a > 0,c > 0; (1)当 a < c 时,P 点的轨迹是　 　 　 　 ; (2)当 a = c 时,P 点的轨迹是　 　 　 　 ; (3)当 a > c 时,集合 P 是　 　 　 　 . 知识点二　 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 - y 2 b2 = 1 (a > 0,b > 0) y2 a2 - x 2 b2 = 1 (a > 0,b > 0) 图形 性 质 范围 x≥a 或 x≤ - a,y∈R x∈R,y≤ - a 或 y≥a 对称性 对称轴:坐标轴　 　 　 对称中心:原点 顶点 顶点坐标: A1 　 　 　 　 , A2 　 　 　 　 顶点坐标: A1 　 　 　 　 , A2 　 　 　 　 渐近线 y = 　 　 　 　 y = 　 　 　 　 离心率 e = ca ,e∈(1, + ∞ ),其中 c = a 2 + b2 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的 　 　 　 ,它的长 | A1A2 | = 　 　 　 　 ;线段 B1B2 叫做双曲线的　 　 　 　 , 它的长 |B1B2 | = 　 　 　 　 ;　 　 　 　 叫做双曲线 的　 　 　 　 ,b 叫做双曲线的　 　 　 　 a、b、c 的关系 c2 = a2 + b2(c > a > 0,c > b > 0) 归 纳 拓 展 　 双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e = 2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). (3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 2b2 a (通径) . 过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的 最小值为 2b2 a ;与两支相交所得弦长的最小值 为 2a. (4)过双曲线焦点 F1 的弦 AB 与双曲线交在同支 上,则 AB 与另一个焦点 F2 构成的△ABF2 的周 长为 4a + 2 |AB | . (5)双曲线的离心率公式可表示为 e = 1 + b 2 a2 . (6)双曲线的形状与 e 的关系: | k | = ba = c2 a2 - 1 = e2 - 1 ,e 越大,即渐近线斜率的绝对值就越 大,双曲线开口就越开阔. (7) x 2 a2 - y 2 b2 =1(a >0,b >0)与y 2 b2 - x 2 a2 =1(a >0,b >0) 互为共轭双曲线,其离心率倒数的平方和为 1. 双 基 自 测 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题组一 走出误区 1. 判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “√” 或 “ × ”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0, - 4)距离之差的绝 对值等于 8 的点的轨迹是双曲线. (　 　 ) (2)方程x 2 m - y2 n = 1(mn > 0)表示焦点在 x 轴上的双 曲线. (　 　 ) (3)双曲线方程 x 2 m2 - y 2 n2 = λ(m > 0,n > 0,λ≠0)的渐 近线方程是 x2 m2 - y 2 n2 = 0,即 xm ± y n = 0. (　 　 ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等 于 2 . (　 　 ) (5)若双曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0)与 x 2 b2 - y 2 a2 = 1(a >0,b >0)的离心率分别是 e1,e2,则 1 e21 + 1 e22 =1 (此条件中两条双曲线称为共轭双曲线). (　 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋