第八章 第八讲 圆锥曲线的综合问题-【衡中学案】2024年老高考文科数学一轮总复习

衡中学案·2024 年度创新设计 所以过 A ( y21 2 ,y1 )的切线斜率为 1 2 × y21 2 = 1y1 , 所以过 A 点的抛物线的切线方程为 y - y1 = 1 y1 ( x - y21 2 ) = 1 y1 x - y1 2 ,即 y = 1 y1 x + y1 2 . 抛物线 y2 = 2x 在第四象限部分,y = - 2x,y′ = - 12 ·(2x) - 12 ·2 = - 1 2x , 所以过 B ( y22 2 ,y2 )的切线斜率为 - 1 2 × y22 2 = 1y2 , 所以过 B 点的抛物线的切线方程为 y - y2 = 1 y2 ( x - y22 2 ) = 1 y2 x - y2 2 ,即 y = 1 y2 x + y2 2 . 由 y = 1y1 x + y1 2 , y = 1y2 x + y2 2 ì î í ï ï ï ï ⇒P ( y1y22 , y1 + y2 2 ), 则 x0 = y1y2 2 ,y0 = y1 + y2 2 ,且(x0 + 2) 2 + y20 = 1,x0∈ [ - 3, - 1], O 到 直 线 AB 的 距 离 d = | y1y2 | 4 + (y1 + y2) 2 = - y1y2 4 + (y1 + y2) 2 = - 2x0 4 + 4y20 = - x0 1 + y20 . d2 = x20 1 + y20 = x20 2 - (x0 + 2) 2 = x20 - x20 - 4x0 - 2 = 1 - 2 x20 - 4x0 - 1 = 1 - 2 ( 1x0 + 1 ) 2 + 1 . 1 x0 ∈ [ - 1, - 13 ],( - 1 + 1) 2 + 1 = 1, - ( - 13 + 1 ) 2 + 1 = 59 , 所以 - ( 1x0 + 1 ) 2 + 1∈ [ 59 ,1 ],d 2∈ [1, 95 ], 所以 d∈ [1,3 55 ],故 d 的最大值为 3 5 5 . 名师点拨 　 MING SHI DIAN BO 　 　 利用导数工具解决抛物线的切线问题,使问题变 得巧妙而简单,若用判别式解决抛物线的切线问题,计 算量大,易出错. 　 　 注意:直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛 物线相切的必要不充分条件,过不在抛物线上一点与 抛物线只有一个公共点的直线有 1 条或 3 条;过抛物 线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有 2 条. 〔变式训练 5〕 (1)已知抛物线 C:y2 = 2px(p > 0),过点 M - p2 ,0( )作 C 的切线,则切线的斜率为　 　 　 　 . (2)已知抛物线 x2 = 8y,过点 P(b,4)作该抛物线的切 线 PA,PB,切点为 A,B,若直线 AB 恒过定点,则该 定点为 (　 　 ) A. (4,0) B. (3,2) C. (0, - 4) 　 D. (4,1) 温馨提示:复习至此,请完成练案[53] ▼ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第八讲　 圆锥曲线的综合问题 第一课时　 直线与圆锥曲线的位置关系 知识梳理·双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知 识 梳 理 　 　 知识点一　 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有 一个公共 点及有两个相异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代 入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况 来判断. 设直线 l 的方程为 Ax + By + C = 0,圆锥曲线方 程 f(x,y) = 0. 由 Ax + By + C = 0, f(x,y) = 0{ 消元,如消去 y 后得 ax 2 + bx + c = 0, ①若 a = 0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲 线的渐近线平行;当圆锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛 物线的对称轴平行(或重合) . ②若 a≠0,设 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ 　 　 　 　 0 时,直线和圆锥曲线相交于不同 两点; 当 Δ 　 　 　 　 0 时,直线和圆锥曲线相切于一点; 当 Δ 　 　 　 　 0 时,直线和圆锥曲线没有公共点. 知识点二　 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k(k 不为 0)的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x