2.11 有理数的混合运算 讲义 2023--2024学年北师大版七年级数学上册

2.11有理数的混合运算讲义北师大版七年级数学上册 基础知识详解 知识点 有理数的混合运算 内容 叙述 含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算，称为有理数的混合运算． 知识 详解 （1）有理数的混合运算中含有加、减、乘、除、乘方等多种运算，称为有理数的混合运算． （2）有理数混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行． （3）运算律的应用：①加法、乘法的所有运算律都能运用；②认真观察，选择恰当的运算律能简化运 算，提高运算能力． 特别 提醒 有理数混合运算的技巧：1．本质：求一个数字的符号和绝对值。2．在进行有理数混合运算时，先确定符号(运用法则或是奇负偶正)，再计算绝对值。3．交换律、结合律、分配律依然适用。4．灵活解题：化整、化正、化同分母。5．混合运算的运算顺序：“从左到右，从高(级)到低(级)，从小(括号)到大(括号)”。 新知巧记 混合运算并不难，符号第一记心间；加法需取（绝对值）大值号，（两数）乘法同正异负添；减变加改相反数，除改乘法用倒数；混合运算讲顺序，乘方乘除后加减。 出题角度1 有理数的混合运算 例1.计算： ． 分析：此算式以加、减分段， 应分为三段： ， ， ．这三段可以同时进行计算，先算乘方，再算乘除．式中－0.2化为 参加计算较为方便． 解：原式 思维点拨：做有理数混合运算时，如果算式中不含有中括号、大括号，那么计算时一般用“加”、“减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率． 针对训练1.　计算： ． 出题角度2 灵活运用运算律简便计算 例2.计算： 分析：要求 、 、的值，用笔算在短时间内是不可能的，必须另辟途径．观察题目发现，，，逆用乘法分配律，前三项可以凑成含有0的乘法运算，此题即可求出． 解：原式 　 思路归纳：“0”乘以任何数等于0．因为运用这一结论必能简化数的计算，所以运算中，能够凑成含“0”因数时，一般都凑成含有0的因数进行计算．当算式中的数字很大或很繁杂时，要注意使用这种“凑0法”． 针对训练2.计算 出题角度3 与有理数混合运算有关的求值 例3.已知a、b互为相反数（a≠0），c、d互为倒数，x的绝对值等于2，试求x2﹣（a+b+cd）x-+（a+b）2024﹣（﹣cd）2023的值． 分析： 解：由题意可得：a+b=0， =﹣1，cd=1，|x|=2， 则x=±2，x2=4． 当x=2时，原式=4﹣1×2+3+0+1=6； 当x=2时，原式=4﹣1×（﹣2）+3+0+1=10． 故x2﹣（a+b+cd）x-+（a+b）2024﹣（﹣cd）2023的值为6或10． 思维点拨：（1）互为相反数的两数的和为0；（2）互为倒数的两数的积为1；（3）绝对值要分类讨论，非负数的绝对值等于它们本身，非正数的绝对值等于它们的相反数，绝对值相等的两数相等或互为相反数。 针对训练3.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，试求 值。 思维误区诊断 误区 混合运算时，易出现运算顺序错误 例 计算： 错解： 正解：原式= 错因分析：本题易出现第一步算完乘方后，先算乘再算除的错误。在只有乘除混合运算中应按从左到右的顺序进行。 能力拓展展示 能力拓展一 含有加减乘除以及乘方的有理数混合运算 例1.计算下列各式： （1）； （2）； （3）。 分析：（1）小题按“＋”“－”号分为四段，再分别计算每一段；（2）小题可灵活运用乘法的分配律；（3）小题中把小数化成分数计算较为简便。 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 思维点拨：有理数的混合运算中应注意以下问题：（1）要注意运算顺序；（2）要灵活运用运算律进行简便运算，不要搞错符号，特别是乘方符号；（3）要灵活进行分数、小数互化。 能力拓展二 含有多层括号的有理数混合运算 例2.计算： ． 分析：含有括号的混合运算，一般按小、中、大括号的顺序进行运算，括号里面仍然是先进行第三级运算，再进行第二级运算，最后进行第一级运算． 　　解：原式 　　 　　 　　 思维点拨：注意运算顺序及运算法则，一步步地进行，切记不可随意乱去括号。 能力拓展三 有理数混合运算中的“24点”游戏 例3.24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌：