河北省唐县第一中学2023-2024学年高二上学期第一次考试（9月）数学试题

2022级高二上学期第一次考试数学试题 考试说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟，分卷Ⅰ，卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ选择题部分请将答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ答案请用0.5毫米以上签字笔写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，，，则2x－y＝（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 2. 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 长方体中，分别为棱中点，则两点的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 6. 如图，正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. ． C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4个小题，选对5分，漏选2分，错选0分，共20分） 9. 已知直线与圆，若点P为直线l上的一个动点，下列说法正确的是（ ） A. 直线l与圆相交 B. 与直线l平行且截圆的弦长为的直线为或 C. 若点Q为圆上的动点，则的取值范围为 D. 过点P作圆C的两条切线，切点分别为，则的最小值为2 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，CD的中点，则（ ） A. B. 平面BEF C. 直线AB交平面EFC于点P，则 D. 点到平面BEF的距离为 11. 圆和圆的交点为，则有（　　） A. 公共弦所在直线方程为 B. 线段中垂线方程为 C. 公共弦长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 12. 在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足.记点的轨迹为，则（ ） A. 点可以是侧面的中心 B. 是菱形 C. 线段的最大值为 D. 的面积是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分） 13. 直线与圆位置关系是_________.（相交，相切，相离） 14. 直线和x、y轴分别交于A、B两点，点C在椭圆上运动，则椭圆上点C到直线AB的最大距离为______. 15. 已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线的对称点为．若过A，，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为_______． 16. 已知曲线与曲线，长度为1的线段AB的两端点A、B分别在曲线、上沿顺时针方向运动，若点A从点开始运动，点B到达点时停止运动，则线段AB所扫过的区域的面积为______. 四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各题12分，共60分） 17. 已知直线的方程为. （1）求圆心为且与直线相切的圆的标准方程； （2）求直线与交点坐标，并求点关于直线的对称的点的坐标. 18. 四棱锥底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点． （1）求异面直线DE与PA所成角的余弦值； （2）证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离． 19. 已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 （1）求的方程； （2）是否存在过点直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 20. 某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： （1）在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ （2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度． 21. 如图，在三棱锥中，，，分别为，的中点，. （1）求证：； （2）若，，求二面角的余弦值. 22. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：. 2022级高二上学期第一次考试数学试题 考试说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟，分卷Ⅰ，卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ选择题部分请将答案用2B铅笔涂