第四章 小结与复习-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一同步课时教师用书word（人教A版2019）

第四章小结与复习 一、知识网络·体系构建 二、主题归纳·综合提升 主题1　指数、对数的运算以及转化与化归思想的应用  例1 化简求值: (1) ; (2) . 【思路点拨】(1) 利用指数幂的运算法则求解即可.　(2) 利用对数的运算法则求解即可. 「解」 (1) 原式.　(2) 原式. 变式训练1 (1) 计算:;(2) 已知,求的值; (3) . 「解」 (1) 原式　(2) 因为,,所以所以所以,所以原式=.　 (3) 原式 点评总结　指数与对数的运算应遵循的原则:指数的运算要注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂.另外,若出现分式,则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数的运算要注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,一般本着真数化简的原则进行.底数相同的对数式化简的两种基本方法:①“收”:将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数;②“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).与指、对数有关的求值问题,常涉及指、对数的运算以及同底对数式的化简等方面的知识. 例2 (1) 设为正数,且则下列不等关系成立的是 (　　) A. B. C. D. (2) 已知.若,则　　　　.  【思路点拨】(1) 根据指数与对数的关系,令,将用的对数式表示,再通过作商,借助对数的运算判别商与1的关系,得出的大小关系.　(2) 由通过换底,可以求出的值,从而得出之间的关系,再结合这一条件,即可求出从而得出的值. 「解」 (1) 令,则,,所,则,,则,故选D.　(2) 由于则.因为,所以所以或2(舍去),所以,则代入中,得,所以,得,所以舍去),. 故 「答案」 (1) D　(2) 6 变式训练2 (1) 若,则　　　　;  (2) 已知,请你试着用,表示　　　　.  「解」 (1),于是.　(2) 依题意有即变形为解得所以,即. 「答案」 (1) 7　(2) 点评总结　求与指数、对数的运算有关的问题,要充分利用指数、对数的定义、运算性质、换底公式和对数基本恒等式等,建立已知条件和所求式子间的联系,做好对数式与指数式的互化工作,实现问题的转化与化归,借助于指数与对数的运算使问题获解. 设计意图　通过对本主题的探索与研究,深化对指数、对数的概念及其相互之间关系的认识和理解,使学生进一步掌握指数和对数的运算性质和基本公式的应用,体会转化与化归思想方法在的数学解题中的价值,训练理性思维,提升数学运算素养. 主题2　指数、对数函数的图象与性质及分类讨论思想的应用  例3 已,则 (　　) A. B. C. D. 【思路点拨】根据指数函数与对数函数的性质,即可求得结果. 「解」 依题意,所以,故选A. 「答案」 A 变式训练3 [教材改编题]已知定义在R上的函数.记,,,则的大小关系为 (　　) A. B. C. D. 「解」 因为为定义在R上的函数,所以,所以的大小关系为.故选B. 「答案」 B 点评总结　比较函数值大小的一般步骤:① 根据函数值的特征构造适当的函数;② 根据所构造函数的单调性,确定两个函数值的大小;③ 当两个函数值不能直接比较时,常构造两个对应函数,再进行比较;④ 必要时,可先将函数值与特殊值0和1进行比较,最后确定它们的大小关系.与指、对数有关的比较大小问题,常涉及指数式和对数式的互化及指数函数和对数函数的单调性等性质. 例4 已知函(为常数),若在区间上单调递增,则的取值范围是　　　　.  【思路点拨】 利用复合函数的单调性结合指数函数的图象,可求出函数单调递增区间D,为使在区间上单调递增,则区间必须且只需是D的子区间,由此建立关于的不等式,通过解不等式求出的取值范围. 「解」 令,则在区间上单调递增,在区间上单调递减.而在R上单调递增,所以要使函数在上单调递增,则有,即,所以的取值范围是 「答案」 变式训练4 若函数满足在区间上的最大值记为,最小值记为,若,则的取值范围是　　　　　　.  「解」 因为,所以的图象关于直线对称,所以,所以.作出函数的图象如图.当或时,离对称轴越远,与的差越小,当时,函数在区间上的最大值与最小值的差为,则取得最大值,所以的取值范围是. 变式训练4答图 「答案」 点评总结　(1) 指数函数的图象和单调性与底数的大小有关,在应用指数函数的图象和单调性解题时,要注意观察底数a是还是,再结合相应的图象和性质进行分析,若不能确定时,就要注意分情况加以讨论.(2) 求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 例5 已知函数为偶函数,且