第一章 小结与复习-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修一同步课时教师用书word（人教A版2019）

第一章小结与复习 一、知识网络·体系构建 二、主题归纳·综合提升 主题1　对集合及其运算的理解以及分类讨论思想的应用  例1 设,集合. (1) 求元素x应满足的条件; (2) 若,求实数x. 【思路点拨】(1) 利用集合元素的互异性.　(2) 按或分类求解. 「解」 (1) 根据元素的互异性,有所以且且.　(2) 由可知或,又方程无解,故. 变式训练1 设集合,.若,求满足条件的x的值. 「解」 ,根据交集的定义,可知9是集合A的元素,因此有或,解得或.当时,,,B中元素出现了重复,违背了集合元素的互异性,故舍去.当时,,,,满足题意.当时,,,此时,与已知矛盾,故舍去.综上所述,. 【点评总结】 分类讨论思想的实质是把整体化为部分来解决问题.本题是与集合元素有关的分类讨论问题:集合中的元素具有确定性、无序性和互异性的特点,在分析集合所含元素的情况时,常常需要分类讨论以及利用元素特性检验. 例2 已知全集为R,集合,. (1) 求; (2) 若,其中且“”是“”的必要不充分条件,求的取值范围. 【思路点拨】(1) 求出集合B,根据交集的定义直接求解.　(2) 依题意,再根据题意得到关于a的不等式,求解即可. 「解」 (1) 因为,又,所以.　(2) 因为“”是“”的必要不充分条件,所以.当时,,解得;当时,有解得.综上所述,. 变式训练2 [2022·山东省济南市高一期末改编题]已知集合,若,求实数的取值范围. 「解」 因为,所以.若,则,解得,满足;若,要使得,则有解得.综上所述,实数a的取值范围为. 【点评总结】 与集合子集有关的分类讨论问题是集合中最常见的分类讨论问题,解题时需对已知集合的子集类型进行分类讨论,尤其要注意空集是任何集合的子集. 对于与空集特性有关的分类讨论问题,要注意空集不但具有“是任何集合的子集”这一特性,还具有其他特性,如,,等. 设计意图　分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异,区分不同的情况予以分析解决.需分类讨论的试题涉及较多的知识点,有利于对知识的深度理解和能力水平的提升.本主题中选择了两道例题,例1及变式训练1的目的是加深学生对集合概念、集合元素特征的认识与理解,提升逻辑推理能力;例2及变式训练2的目的是加深对集合运算及其性质的理解与掌握,提升数学运算能力与逻辑推理能力. 主题2　对充分条件和必要条件的理解与判断及数形结合思想的应用  例3 [2022·山东省临沂市第一中学高一开学考试]设U为全集,A,B是其两个子集,则“存在集合C,使得,”是“”的 (　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【思路点拨】解答本题的关键是利用集合间的关系画出Venn图,从而判断充分条件和必要条件. 「解」 由图可知,若“存在集合C,使得,”,则一定有“”;反过来,若“”,则一定能找到集合C,使C且.故选C. 例3答图 C 变式训练3 已知全集,集合A,B是U的子集,且满足,,,则下列结论正确的是 (　　) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 「解」 已知全集,集合A,B是U的子集,且满足,,.故选B. 变式训练3答图 「答案」 B 【点评总结】 进行集合运算时要注意数形结合思想的应用,将自然语言或符号语言转化为图形语言: (1) 离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;(2) 连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心. 有时还要看集合能否化简,能化简的先化简,再利用其关系运算. 例4 已知集合,. (1) 求实数的取值范围,使它成为的充要条件; (2) 求实数的一个值,使它成为的一个充分不必要条件; (3) 求实数的取值范围,使它成为的一个必要不充分条件. 【思路点拨】(1) 要求的充要条件,方法1:利用交集的定义求实数的取值范围;方法2:可以借助数轴求出实数的取值范围.　(2) 根据题意只要在(1)求出的取值集合中取一个值即可.(3) 即求一个集合Q,使得(1)中求出的取值集合为Q的真子集即可. 「解」 (1) 方法1:因为,,要使得,则.因此,的充要条件为.方法2:由,,借助数轴(如图),则a的取值范围是. 　例4答图 (2) 在集合中取一个值即可,如取,此时必有.(3) 即求一个集合Q,使得是集合Q的一个真子集.如果是,那么未必有,但是时,必有.所以是的必要不充分条件. 变式训练4 [2022·贵州省安顺市高一月考]已知,.是否存在实数,使得是的充要条件?若存在,求出的取值范围. 「解」 因为,,要使是的充要条件,则,即,所以 此时m不存在,即不存在实数m,使得是的充要条件. 【点评总结】 充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件和结论之间的关系.通过不同的知识