重难点专题17 三角函数最值与取值范围问题十三大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题17三角函数最值与取值范围问题十三大题型汇总 题型1单调性与最值 1 题型2辅助角公式求最值 2 题型 3一元二次函数与最值 3 题型4sinx与cosx和差求最值 4 题型5分式型最值 5 题型6绝对值型求最值 7 题型7三角换元法求最值 8 题型8三角换元法与向量求最值 9 题型9三角换元法与根号型求最值 11 题型10换元法求最值 11 题型11距离与斜率型 12 题型12参变分离 13 题型13复合函数型 13 题型1单调性与最值 利用正弦型函数的单调性求解对应区间的最值问题 【例题1】（多选）（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）已知函数在上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则整数的取值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-1】1.（多选）（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．的最小正周期为4 D．在上的零点个数最少为1012个 【变式1-1】2. （2021秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是的极值点 C．在上有且仅有个零点 D．的值域是 【变式1-1】3. （多选）（2020秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数，，则下列结论正确的有（    ） A．在区间上单调递减 B．若，则 C．在区间上的值域为 D．若函数，且，在上单调递减 【变式1-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则 ． 【变式1-1】5．（2023·全国·高三专题练习）若a、b为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为1，则的取值范围是 ． 题型2辅助角公式求最值 通过辅助角公式化简成正弦型函数，进而求解对应区间的最值问题 【例题2】（2023·天津东丽·校考模拟预测）已知函数图象的最小正周期是，则（    ） ① 的图象关于点对称 ② 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 ③在上的值域为 ④ 在上单调递增 A．①②④ B．①②③ C．②④ D．②③④ 【变式2-1】1．（2023·天津·三模）已知，，若对，，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是. A． B． C． D． 【变式2-1】2. （2023秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【变式2-1】3. （2023·陕西铜川·统考二模）已知函数，若，则函数的值域为 . 【变式2-1】4. （2023·四川达州·统考二模）函数在区间上的值域为，则的取值范围为 . 题型 3一元二次函数与最值 类比一元二次函数，求解最值 【例题3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】1. （多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在上有4个零点 D．的值域是 【变式3-1】2. （2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）设函数，.若方程在上有4个不相等的实数根，则的取值范围是 . 【变式3-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)设，是g（x）的两个零点，证明：． 【变式3-1】4. （2022秋·上海虹口·高三统考阶段练习）已知，函数. (1)当时，求的值域； (2)若函数在区间上是严格增函数，求a的最大值； (3)设.方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求所有满足条件的u的值；若不能，说明理由. 【变式3-1】5.（2022秋·广东佛山·高三华南师大附中南海实验高中校考阶段练习）已知函数. （1）当,，则的最大值为 ； （2）若对任意、，都有，则的取值范围为 . 题型4sinx与cosx和差求最值 利用的关系，通过换元可以进行代数式的化简 【例题4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，则（    ） A．为的一个周期 B．的值域为[-1，1] C．的图像关于直线对称 D．曲线在点 处的切线斜率为 【变式4-1】1. （2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】2. （2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知函数，． (1)当时