重难点专题40 圆锥曲线二级结论之第三定义十一大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题40圆锥曲线二级结论之第三定义与中点弦十一大题型汇总 题型1第三定义之离心率问题 1 题型2第三定义之斜率问题 3 题型3第三定义之定点定值问题 6 题型4第三定义之轨迹方程问题 6 题型5中点弦之离心率问题 7 题型7中点弦之直线或曲线方程问题 9 题型8中点弦之弦长问题 10 题型9中点弦之斜率相关问题 10 题型10中点弦之轨迹方程问题 12 题型11中点弦之定点定值问题 12 题型1第三定义之离心率问题 一、圆雉曲线第三定义（仅限于椭圆和双曲线） 平面内动点到两定点（或）的斜率乘积等于常数的点的轨迹为椭圆或双曲线．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当时为椭圆，当时为双曲线． 【例题1】（2022·全国·高三专题练习）椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连，并延长交椭圆于，若，求椭圆的离心率． 【变式1-1】1. （2020下·西藏拉萨·高三拉萨中学校考阶段练习）设为常数，动点分别与两定点，的连线的斜率之积为定值，若点的轨迹是离心率为的双曲线，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．3 D． 【变式1-1】2. （2020·全国·校联考一模）已知是椭圆上关于原点对称的两点，若椭圆上存在点，使得直线斜率的绝对值之和为1，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【变式1-1】3. （2019·四川成都·统考一模）设椭圆的左,右顶点为是椭圆上不同于的一点,设直线的斜率分别为,则当取得最小值时,椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【变式1-1】4. （2017·湖北武汉·校联考一模）已知分别为椭圆（）的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线的斜率分别为，若点到直线的距离为1，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【变式1-1】5. （2017下·浙江绍兴·高三诸暨牌头中学校考期末）已知,是椭圆长轴的两个顶点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，且，若的最小值为1,则椭圆的离心率为     A． B． C． D． 【变式1-1】6. （2018·全国·校联考一模）已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是 A． B． C． D． 题型2第三定义之斜率问题 【结论1】为椭圆的长轴两端点，是椭圆上异于的任一点，则有． 证明：设，则， 又， 代入上式可得． 【结论2】为椭圆的短轴两端点，是椭圆上异于的任一点，则有． 【结论3】为椭圆的长轴（或短轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则有． 【结论4】为双曲线的实轴（或虚轴）两端点，是椭圆上异于的任一点，则有． 【结论5】在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则有：． 【结论6】在椭圆中，是关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若存在，则有：． 【结论7】在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则有：． 【结论8】在双曲线中，是关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若存在，则有：． 【例题2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为（    ） A． B．3 C． D． 【变式2-1】1. （2022·全国·高三专题练习）椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】2. （2020下·江西宜春·高三校考阶段练习）“过原点的直线交双曲线于，两点，点为双曲线上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值”．类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线交椭圆于，两点，点为椭圆上异于，的动点，若直线，的斜率均存在，则它们之积是定值（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】3. （2013·全国·高考真题）椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是 A． B． C． D． 【变式2-1】4. （2021上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（    ） A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的范围为 【变式2-1】5.（2019上·河南商丘·高三商丘市第一高级中学校考期中）设P为椭圆C：（）上的动点，，分别为椭圆C的左、右焦点，为的内心，则直线与直线的斜率积（    ） A．非定值，但存在最大值且为 B．是定值且为 C．非定值，且不存在定值 D．是定值且为 【变式2-1】6.（2021上·安徽·高三校联考阶段练习）已知直线与双曲线相交于M、N两点，双曲线C的左、右顶