精品解析：湖南省长沙市东雅中学2022-2023学年高二下学期入学考试数学试卷

长沙市东雅中学高二年级2023年下期入学考试 数学 命题人：周寒辉 总分：150分 时量：100分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 4. 已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示. 其中则事件与事件（ ） A. 是互斥事件，不是独立事件 B. 不是互斥事件，是独立事件 C. 既是互斥事件，也是独立事件 D. 既不互斥事件，也不是独立事件 5. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于 A. B. C. －1 D. －1 7. 已知是边长为的等边三角形，、分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量的模为 8. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积为4π，则该三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A. 6 B. 3 C. 3 D. 3 二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，选出部分正确答案得2分，选出错误答案不得分） 9. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数(ω>0)，下列说法中正确的有（ ） A. 若ω=1，则f(x)在上是单调增函数 B. 若，则正整数ω的最小值为2 C. 若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度，所得到的图象关于原点对称 D. 若f(x)在上有且仅有3个零点，则 11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折到△AB1M的位置，连接B1C和B1D，N为B1D的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（ ） A. 始终有AM⊥B1C B. 线段CN的长为定值 C. 直线AB1和CN所成的角始终为 D. 当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，其外接球的表面积是 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ） A. 偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 能够说明“若，则”是假命题的一组有序数对是___________. 14. 若三个原件A，B，C按照如图方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______ 15. 已知的三边长互不相等，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是______. 16. 已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为______． 四、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22题每小题12分，共70分） 17. 已知函数. （1）将函数化成的形式，并求函数的增区间； （2）若函数满足：对任意都有成立，求实数的取值范围. 18. 在长方体－中（如图），，，点是棱的中点． （1）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．试问四面体是否为鳖臑？并说明理由； （2）求四面体的体积； （3）求直线CD与平面DED1所成角的大小． 19. △ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+cos2B+2sinAsinB＝1+cos2C. （1）求角C； （2）设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求CD的最小值. 20. 如图所示，在五棱锥中，侧面底面，是边长为2的正三角形，四边形为正方形，，且，是的重心，是正方形的中心. （1）求证：平面； （2）求二面角余弦值. 21. 甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中