3.1 不等式的基本性质（六大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

3．1 不等式的基本性质 课程标准 学习目标 1、通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系．掌握不等式的性质； 2、会用不等式的性质证明简单的不等式． 3、培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力 1、逻辑推理：运用不等式的性质证明不等式； 2、数学运算：运用不等式的性质求解证明不等式； 3、直观想象：在几何图形中发现不等式； 4、数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题． 知识点01 符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 【即学即练1】（2023·河南·高三校联考开学考试）已知：，则大小关系是 ． 知识点02 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 【即学即练2】（多选题）（2023·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 知识点03 比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 【即学即练3】（1）设，，.试比较P与Q的大小. （2）已知，，.求证：； 题型一：用不等式（组）表示不等关系 例1．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 例2．（2023·全国·高一专题练习）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工人，瓦工人，则请工人满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·高一课时练习）下列说法正确的为（    ） A．与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为7℃，最高温度为13℃，则这天的温度可表示为“7℃13℃” 【方法技巧与总结】 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 题型二：作差法比较两数（式）的大小 例4．（2023·全国·高一专题练习）设、为实数，比较两式的值的大小： （用符号或=填入划线部分）． 例5．（2023·广西桂林·高一校考阶段练习）设，则与的大小关系为： （用“”、“”、“”填写）. 例6．（2023·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知为实数，则 (填 “”、“”、“”或“”). 变式3．（2023·青海海南·高一海南藏族自治州高级中学校考阶段练习）若，则