24.7 向量的线性运算（讲+练，二大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪教版）

24.7 向量的线性运算 1.理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果. 2.知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合． 知识点一 向量的线性运算与线性组合 1. 向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2.向量的线性组合 如果、是两个不平行的向量，是实数，那么叫做、的线性组合.一般来说，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式. 即学即练1 （2023·上海·一模）如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且经过的重心，设． (1)___________（用向量表示）； (2)求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 即学即练2 （2023·上海·一模）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，． (1)求证：； (2)设，，试用向量、表示向量． 知识点二 向量的分解 1.向量的分解 根据向量加法的意义，所得的和向量是向量与的合成.如果与是两个不平行的向量，（是实数），那么向量就是与的合成.用与的线性组合表示向量，也就是说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量在与方向上的分向量,是向量关于与的分解式. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 2.将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法 将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法可以利用向量加法的平行四边形法则得出. 即学即练1 如图，已知中，，，，． 设， (1)请直接写出向量、关于、的分解式，______；______． (2)连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】 即学即练2 （2021秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图， 是 的中线， 交于点 ， 且 ． (1)直接写出向量 关于 的分解式， ______ (2)在图中画出向量 在向量 和 方向上的分向量．（不要求写作法， 但要保留作图痕迹， 并写明结论） 题型一 向量分解的应用 例1 （2022秋·上海金山·九年级统考期末）如图，已知：四边形ABCD中，点、分别在边BC、CD上，，设，． 求向量关于、的分解式． 举一反三1 （2021秋·上海浦东新·九年级期末）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，那么向量关于、的分解式为 ． 举一反三2 （2021秋·上海金山·九年级校考期中）如图，一个的网格．其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点． （1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与相似？请说明理由； （2）设a，，写出向量关于a、b的分解式． 题型二 向量的线性运算 例2 （2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）如图，已知在平行四边形中，E、F分别是边的中点，设．    (1)求向量（用向量表示）； (2)求作向量在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 举一反三1 （2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，在中，点、分别在边、上，，，，.    (1)求的长； (2)过点作交于，设，，求向量（用向量、表示）. 举一反三2如图，在平行四边形中，E、F、G、H分别为各边的中点，与相交于点O．设，，试用向量或表示向量、，并写出图中与相等的向量．    1、 单选题 1．阅读理解：设，，若，则，即．已知，，且，则的值为　　 A． B．1或 C．或4 D．1 2．如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．已知点D、E分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为（    ） A． B． C． D． 4．已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是（　　） A．， B． C． D．， 5．已知在中，点D、E分别是的中点，设，，那么向量用向量、表示为（    ） A． B． C． D． 6．如果C是线段的中点，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·上海·一模）矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ） A． B． C． D． 二、填空题 1．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知在中，点在边上，，，，那么 ．（用含向量和的式子表示）    2.已知平行四边形中，若，，则 ．（用和表示） 3．如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示 ．    4．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，，、交于点，，设，，那么向量用向量、表示为 ．    三、解答题 1．已知