山东省青岛市2023-2024学年高一上学期9月强基计划学生选拔测试数学试题

2023 年青岛市高一数学强基计划学生选拔测试题 （时间：100 分钟，满分 120 分） 一、填空题（共 64分，其中每个小题 8分） 1.已知关于 x的方程 5x a b   有解，则b 的取值范围是______． 2.如图，直线 2y x   与 x轴，y轴分别交于点 A，B，与反比例函数 k y x  的图 象交于点 E，F．若 2AB EF ，则 k的值为_____． 3.实数 a b ，且满足         2 2 1 3 3 1 , 1 3 3 1a a b b        ，则 b a b a a b  的值 为 ． 4.如图，在 ABC中，D为 AC 上一点，连接 BD， A C ABD   ， 2BD BA  ， 5BC  ，则 ABC的面积是______． 5.已知实数 x，y，z满足 5x y z   ，且4 3xy yz xz   ，则 z的最大值为________． 6.在同一平面直角坐标系中，直线 y＝kx﹣k与函数 y＝ 2 6( 4) 2( 4 1) 2 4( 1) x x x x x            的图象恰 好有三个不同的交点，则 k的取值范围是_____． 7.设 n是正整数，且是 15 的倍数， 15n m ．已知 m是完全平方数，120 n 是完 全立方数， 36 n 是完全 5 次方数，则 n的最小值是______． 8.将形如 3m和 2n（m，n为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为 1 2 3, ,a a a 若第 k个数 2022ka  ，则 k的值为 ． 二、解答题（共 56分，其中第 9题 16 分，第 10 题 20 分，第 11题 20 分） 9.（本题满分 16 分） 如果实数 x，y ，z 满足 2 2 2 ( ) 8x y z xy yz zx      ，用 A表示 | |x y ，| |y z ，| |z x 的最大值，求 A的最大值． 10.（本题满分 20 分） 若一个两位正整数m的个位数为 4，则称m为“好数”． (1)求证：对任意“好数”m， 2 16m  一定为 20 的倍数； (2)若 2 2m p q  ，且 p ，q 为正整数，则称数对 ( , )p q 为“友好数对”，规定：   q H m p  ， 例如 2 224 5 1  ，称数对 (5,1)为“友好数对”，则   124 5 H  ，求小于 70 的“好数” 中，所有“友好数对”的 ( )H m 的最大值． 11.（本题满分 20分） 如图，二次函数 2 3 4 ( 0)y ax ax a a    的图象与 x轴交于点 ( 1,0)A  ，B，与 y轴 交于点 C，点 D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 l与BC交于点 E，与 x轴交 于点 F． (1)若 15 8 DE  ，求抛物线 2 3 4 ( 0)y ax ax a a    的表达式； (2)在（1）的条件下，点G是第一象限内抛物线对称轴 l上一点，且 BGC BCO  ， 求点 G的坐标． 2023年青岛市高一数学强基计划学生选拔测试题 评分细则 一、填空题（共64分，其中每个小题8分） 1.b≥5 2 3.-23 4.97 2 6.-2<k< 2-5 7.218×325×55 8.684 二、解答题（共56分，其中第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9.(本小题满分16分) 不妨设x>y>:,则A=x-z, 令x-y=a,y-z=b,则x-z=a+b, 4分 由x2+y2+z2-(y+z+2x)=8 可知，x-旷+0-+-x]=8, .a2+b+(a+b)2=16, 化简得2+2+ab=8,8分 (a-b=a2+b+ab-3ab=8-3ab≥0， 八.ab≤12分 ·(a+b≤8+8-32 33 46 .a+b≤ 3 …16分 10.(本小题满分20分) (1)证明：设m=10r+4,1≤t≤9，且1为整数， ∴.m2-16=10t+4)2-16=100r2+80t+16-16=20(52+4) ,1≤t≤9，且1为整数，.5+4是正整数， .m2-16一定是20的倍数：.5分 (2),m=p2-g2,且P,9为正整数， .10r+4=(p+q)p-q), 当1=1时，101+4=14=1×14=2×7，没有满足条件的P,9, 当t=2时，101+4=24=1×24=2×12=3×8=4×6， ∴满足