山西省大同市第一中学校2023-2024学年高二上学期9月学情检测数学试题

2023-2024-1高二年级9月学情检测 数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 过两点的直线的倾斜角为 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知三角形的三个顶点A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC的高CD所在的直线方程是 A. 5x+y﹣2=0 B. x﹣5y﹣16=0 C. 5x﹣y﹣8=0 D. x+5y+14=0 5. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线：与关于直线对称，与平行，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知四面体中，，，，直线与所成的角为，且二面角为锐二面角．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 直线必过定点 C. 过点，且斜率为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为 10. 已知第一象限内的点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，棱长为的正方体的外接球的球心为，、分别为棱、的中点，在棱上，则（ ） A. 对于任意点，平面 B. 存在点，使得平面平面 C. 直线被球截得的弦长为 D. 过直线的平面截球所得的截面圆面积的最小值为 12. “奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积，托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角为 B. 直线平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 球上点离球托底面的最大距离为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 过点，且横、纵截距互为相反数的直线方程是__________． 14. 已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．经过点且方向向量为的直线方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为_________． 15. 在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点． 16. 将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则_____________． 四、解答题（本题共6小题，共70分） 17. 求经过直线l1：2x﹣y+4＝0和直线l2：x﹣y+5＝0的交点C，并且满足下列条件的直线方程． （1）与直线x﹣4y+4＝0垂直； （2）到原点的距离等于1． 18. 已知空间中的三点，，，设，. （1）若与互相垂直，求值； （2）求点到直线的距离. 19. 过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点. （1）求的最小值，及此时直线l的截距式方程； （2）求的最小值，及此时直线l的截距式方程. 20. 如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点 （1）若是线段的中点，试证明平面； （2）已知直线与平面所成角. ①若和面积分别记为，试求的值； ②求三棱锥的体积. 21. 如图，是某景区的瀑布群，已知，点Q到直线，的距离均为2，现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸交道路于点B. （1）求； （2）当取得最小值时，求. 22. 如图，在梯形ABCD中，，，，现将△ADC沿AC翻折成直二面角. （1）证明：； （2）记△APB的重心为G，若异面直线PC与AB所成角的余弦值为，在侧面PBC内是否存在一点M，使得平面PBC，若存在，求出点M到平面PAC的距离；若不存在，请说明理由. 2023-2024-1高二年级9月学情检测 数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【