广西钦州市第四中学2023-2024学年高一上学期第三周考试数学试卷

广西钦州市第四中学2023-2024学年高一年级上学期第三周考试数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 2. 设，为实数，不等式对所有成立，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 3. 设，，给出下列不等式不恒成立的是(    ) A. B. C. D. 4. 设，，，则下列说法错误的是．(    ) A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 5. 若，则下列不等式一定成立的是(    ) A. B. C. D. 6. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的边长为(    ) A. B. C. D. 7. 若且，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 8. 已知，且，则下列命题正确的是(    ) A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知正数，，则下列不等式中恒成立的是(    ) A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的是(    ) 若，则若，则若，则若，则． A. B. C. D. 11. 下列结论中，正确的有(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 当时， D. 若，，，则 12. 下列结论正确的是(    ) A. ，且，使得 B. 若“，使得”为真命题，则实数的取值范围是或 C. 若，则有最小值 D. ，有最小值 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 若时，的最大值是          ． 14. 已知，，，则的最大值为___ 15. 给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；设，是互不相等的正数，则其中真命题是          填序号． 16. 设实数，，，满足，，则的取值范围是____． 四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 本小题分 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好． 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请用数学知识说明你的理由． 18. 本小题分 比较与的大小 当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围． 19. 本小题分 已知，，求的取值范围； 已知，为正数，且，求证：． 20. 本小题分 已知函数． 求不等式的解集； 若的最小值为，且，证明：． 21. 本小题分 已知，求的最小值． 若，，求证． 22. 本小题分 如图，长方形表示一张单位：分米的工艺木板，其四周有边框，中间为薄板．木板上一瑕疵记为点到外边框，的距离分别为分米，分米．现欲经过点锯掉一块三角形废料，其中，分别在，上．设，的长分别为分米，分米． 求证：； 为使剩下木板的面积最大，试确定，的值； 求剩下木板的外边框长度的长度之和的最大值及取得最大值时，的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.  13. 14. 15. 16.  17.解：设窗户面积为，则地板面积为． 由题意知，解得， 又由题知，， 所以有， 所以窗户面积至少为． 设窗户面积为，地板面积为，增加的面积为． 因为，，，且， 所以，即， 所以公寓的采光效果变好了．  18.解：作差得： ， 易得， 当时，，则，故； 当时，，则，故； 当时，，则，故 综上， 当时，； 当时，； 当时， 因为，，且满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 依题意必有，即， 得， 所以的取值范围为．  19.解：， 因为，所以， 又，所以， 所以． 证明：因为，为正数，且， ， 当且仅当即时取等号．  20.解：由，得，    则    或    或  解得：， 故不等式的解集是； 证明：， 故， ， 故，， ， 当且仅当，即，时取“”， 故．  21.解：，， ， 当且仅当，即 时，取等号， 所以的最小值为 证明：，， ， ．  22.解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，， ， 则与相似， 从而，