第23章 旋转——旋转模型（培优）——半角，对角互补模型，奔驰模型，费马点 专项训练 2023—2024学年人教版数学九年级上册

旋转模型（培优）——半角，对角互补模型，奔驰模型，费马点 一 分类学习 （一）角含半角 1．（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，试说明DE+BF＝EF． （2）类比引申：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 　 　时，有EF＝BE+DF． 数学模拟试卷一第5页（共6页） （3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，试猜想BD，DE，EC满足的等量关系，并写出推理过程． ​ 2．【尝试探究】如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上运动， （1）当点E、F分别为BC、DC中点时，求证：AE＝AF； （2）当点E、F分别在边BC、DC上运动，∠EAF＝45°时，探究DF、BE和EF的数量关系，加以说明； （3）如图2，当点E、F分别在射线CB、DC上运动，∠EAF＝45°时， ①试问（2）中的结论还成立吗？请加以说明； ②直接写出S△ADF、S△AEF和S△ABE之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边DC、BC上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知△ABC是边长为5的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），BD＝CD， ∠BDC＝120°，∠DBC＝∠BCD＝30°，以D为顶点作一个600角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、F，连接EF，求△AEF的周长． （二）对角互补模型 1．如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝　 　． 2．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED＝90°，连接OE． （1）将△AOE绕点O顺时针旋转90°，得△A'OE'． ①画出△A'OE'；②判断点E'是否在直线ED上，并说明理由； （2）若DE＝4，OE＝3，求AE的长． （三）奔驰模型——三线勾股问题 1．阅读下列材料： 问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC＝1：2：3，求∠APB的度数． 小娜同学的想法是：不妨设PA＝1，PB＝2，PC＝3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连接PE，问题得以解决． 请你回答：图2中∠APB的度数为　 　． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题： 如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB＝115°，∠BPC＝125°． （1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于　 　． 2．如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至△BCM． （1）依题意补全图形； （2）若OA＝，OB＝，OC＝1，求∠OCM的度数． 3．如图，P是正方形ABCD内的一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3， （1）求∠APB的度数． （2）求正方形ABCD的面积． （四）费马点 1．阅读材料： 被誉为“业余数学家之王”的皮埃尔•德•费马曾提出这样一个问题：在三角形所在平面内求一点，使该点到三角形各顶点的距离之和最小，后来人们称该点为费马点．在三个内角都小于120°的三角形中，费马点就是与三角形三个顶点的连线两两夹角为120°的点．如图①，P为△ABC内一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值最小． 问题解决： 如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，若P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，当PA+PB+PC取得最小值时，求∠APB的度数． 2．法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为　 　． 二 课后作业 1．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝